《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,$∠ACB= ∠ADB= 90^{\circ }$,M,N分别为AB,CD的中点. 求证:$MN⊥CD.$

答案：
证明:如答图，连接CM,DM.
∵∠ACB=∠ADB=90°,M为AB的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB,DM=$\frac{1}{2}$AB,
∴CM=DM;
∵N为CD的中点,
∴MN⊥CD.

2. 如图,在$△ABC$中,$BA= BC$,D为BC上一点,$DF⊥BC$交AC于点F.
(1)若$∠AFD= 160^{\circ }$,则$∠A= $____;
(2)若F是AC的中点,求证:$∠CFD= \frac {1}{2}∠B.$

答案：

(1)70°
(2)证明:如答图，连接BF;
∵AB=BC,F是AC的中点，
∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠CFD+∠BFD=90°.
∵FD⊥BC,∠CBF+∠BFD=90°,
∴∠CFD=∠CBF,
∴∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC.

3. 如图,在$△ABC$中,AD是BC边上的高,CF是AB边上的中线,且$DC= BF,DE⊥CF$于点E.
(1)E是CF的中点吗?试说明理由;
(2)求证:$∠B= 2∠BCF.$

答案：

(1)解:E是CF的中点.理由如下:
如答图，连接DF.

∵AD是BC边上的高，CF是AB边上的中线，
∴∠ADB=90°,
∴DF=BF=$\frac{1}{2}$AB.
∵DC=BF,
∴CD=DF.
∵DE⊥CF,
∴E是CF的中点.
(2)证明:由
(1)知DF=BF,
∴∠FDB=∠B.
∵DC=DF,
∴∠DCF=∠DFC.
由外角的性质,得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,
∴∠B=2∠DCF,即∠B=2∠BCF;