《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 在等边三角形ABC中,E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED= EC.
(1)如图①,若E为AB的中点,求证：AE= DB；
(2)如图②,若E为AB上任意一点,猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想.

答案： 1. （1）
解（证明）：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$E$为$AB$中点，所以$AE = BE$，$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，$CE$平分$\angle ACB$（等边三角形三线合一），则$\angle ECB = 30^{\circ}$。
因为$ED = EC$，所以$\angle D=\angle ECB = 30^{\circ}$。
又因为$\angle ABC=\angle D+\angle BED$（三角形外角性质），所以$\angle BED=\angle ABC - \angle D=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
所以$\angle D=\angle BED$，则$DB = BE$。
又因为$AE = BE$，所以$AE = DB$。
2. （2）
解（证明）：
猜想：$AE = DB$。
过$E$作$EF// BC$交$AC$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$。
因为$EF// BC$，所以$\angle AEF=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle AFE=\angle ACB = 60^{\circ}$，则$\triangle AEF$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形），所以$AE = EF$，$\angle EFC = 180^{\circ}-\angle AFE=120^{\circ}$，$\angle EBD = 180^{\circ}-\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle EFC=\angle EBD$。
因为$ED = EC$，所以$\angle D=\angle ECD$。
又因为$\angle ECD+\angle ECF=\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle D+\angle BED=\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle BED=\angle ECF$。
在$\triangle EBD$和$\triangle CFE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle EBD=\angle EFC\\\angle BED=\angle FCE\\ED = EC\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle EBD\cong\triangle CFE$。
所以$DB = EF$。
又因为$AE = EF$，所以$AE = DB$。
综上，（1）得证$AE = DB$；（2）$AE = DB$。

2. (1)如图①,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF//BC分别交AB,AC于点E,F,则线段EF与BE,CF之间有怎样的数量关系？说明你的理由；

(2)如图②,若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O,过点O作OE//BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出EF与BE,CF之间的数量关系______EF = BE - CF.


解：$EF = BE + CF$。
理由如下：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle EBO=\angle OBC$。
又因为$EF// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EOB = \angle OBC$。
所以$\angle EBO=\angle EOB$，根据等角对等边，可得$BE = EO$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle FCO=\angle OCB$。
又因为$EF// BC$，所以$\angle FOC=\angle OCB$。
所以$\angle FCO=\angle FOC$，根据等角对等边，可得$CF = FO$。
因为$EF=EO + FO$，所以$EF = BE + CF$。

答案： 1. （1）
解：$EF = BE + CF$。
理由如下：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle EBO=\angle OBC$。
又因为$EF// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle EOB = \angle OBC$。
所以$\angle EBO=\angle EOB$，根据等角对等边，可得$BE = EO$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle FCO=\angle OCB$。
又因为$EF// BC$，所以$\angle FOC=\angle OCB$。
所以$\angle FCO=\angle FOC$，根据等角对等边，可得$CF = FO$。
因为$EF=EO + FO$，所以$EF = BE + CF$。
2. （2）
答案：$EF = BE - CF$。
理由：因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle EBO=\angle OBC$。
又因为$EF// BC$，所以$\angle EOB=\angle OBC$，则$\angle EBO=\angle EOB$，所以$BE = EO$。
因为$CO$平分$\angle ACD$（$CD$为$BC$的延长线），所以$\angle FCO=\angle OCG$（设$AC$延长线为$CG$）。
又因为$EF// BC$，所以$\angle FOC=\angle OCG$，则$\angle FCO=\angle FOC$，所以$CF = FO$。
而$EF=EO - FO$，所以$EF = BE - CF$。
故答案依次为：（1）$EF = BE + CF$；（2）$EF = BE - CF$。

3. 如图,在△ABC中,∠B= 2∠C,AD是∠BAC的平分线. 求证：AC= AB+BD.

答案： 解：在$AC$上截取$AE = AB$，连接$DE$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD=\angle EAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD=\angle EAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle AED$。
所以$BD = ED$，$\angle B=\angle AED$。
又因为$\angle B = 2\angle C$，$\angle AED=\angle C+\angle EDC$，所以$2\angle C=\angle C+\angle EDC$，即$\angle EDC=\angle C$。
所以$ED = EC$，又因为$BD = ED$，所以$BD = EC$。
因为$AC=AE + EC$，$AE = AB$，$BD = EC$，所以$AC=AB + BD$。
综上，$AC = AB + BD$得证。