《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9.已知实数a,b满足关系式$|a^2-9|+\sqrt{a^2-4b-1}= 0$.
(1)求a,b的值;
(2)判断$\sqrt[6]{a+6}$是有理数还是无理数,并说明理由.

答案： $(1)$求$a$，$b$的值
解：
因为绝对值$\vert a^{2}-9\vert\geq0$，算术平方根$\sqrt{a^{2}-4b - 1}\geq0$，且$\vert a^{2}-9\vert+\sqrt{a^{2}-4b - 1}=0$。
根据“若两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$”，可得：
$\begin{cases}a^{2}-9 = 0&(1)\\a^{2}-4b - 1=0&(2)\end{cases}$
由$(1)$式$a^{2}-9 = 0$，移项可得$a^{2}=9$，解得$a=\pm3$。
把$a^{2}=9$代入$(2)$式$a^{2}-4b - 1 = 0$中，得到$9-4b - 1=0$，即$8-4b = 0$。
移项可得$4b = 8$，解得$b = 2$。
$(2)$判断$\sqrt[b]{a + 6}$是有理数还是无理数
当$a = 3$，$b = 2$时：
$\sqrt[b]{a + 6}=\sqrt[2]{3 + 6}=\sqrt{9}=3$，$3$是有理数。
当$a=-3$，$b = 2$时：
$\sqrt[b]{a + 6}=\sqrt[2]{-3 + 6}=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数。
综上，$(1)$$\boldsymbol{a=\pm3}$，$\boldsymbol{b = 2}$；$(2)$当$a = 3$时，$\sqrt[b]{a + 6}$是有理数；当$a=-3$时，$\sqrt[b]{a + 6}$是无理数。

10.如图是$4×4$的网格,其中每个小正方形的边长均为1.
(1)利用$4×4$的网格,画出面积为5的正方形并涂上阴影;
(2)利用(1)中的正方形,在如图所示的数轴上标出表示实数$\sqrt{5}和-\sqrt{5}$的点.(保留作图痕迹)

答案：
解:
(1) 如答图. (答案不唯一)
(2) 如答图, 点 $B$ 表示 $\sqrt{5}$, 点 $A$ 表示 $-\sqrt{5}$.

11.先阅读材料,然后解答提出的问题:
设a,b是有理数,且满足$a+\sqrt{2}b= 3-2\sqrt{2}$,求$b^a$的值.
由题意,得$(a-3)+(b+2)\sqrt{2}= 0$,因为a,b都是有理数,所以$a-3,b+2$也都是有理数,由于$\sqrt{2}$是无理数,所以$a-3= 0,b+2= 0$,所以$a= 3,b= -2$,所以$b^a= (-2)^3= -8$.
问题:设x,y都是有理数,且满足$x^2-2y+\sqrt{5}y= 30+3\sqrt{5}$,求$x+y$的平方根.

答案： 解：
由$x^{2}-2y+\sqrt{5}y = 30 + 3\sqrt{5}$，可得$(x^{2}-2y - 30)+(y - 3)\sqrt{5}=0$。
因为$x$，$y$都是有理数，所以$x^{2}-2y - 30$，$y - 3$也都是有理数。
由于$\sqrt{5}$是无理数，所以$\begin{cases}x^{2}-2y - 30 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$。
由$y - 3 = 0$，得$y = 3$。
把$y = 3$代入$x^{2}-2y - 30 = 0$，即$x^{2}-2×3 - 30 = 0$，$x^{2}-6 - 30 = 0$，$x^{2}=36$，解得$x=\pm6$。
当$x = 6$，$y = 3$时，$x + y=6 + 3 = 9$，$9$的平方根是$\pm3$。
当$x=-6$，$y = 3$时，$x + y=-6 + 3=-3$，$-3$没有平方根（因为负数没有平方根）。
综上，$x + y$的平方根是$\pm3$。