《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

4. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 120^{\circ }$,D,F分别为AB,AC的中点,且$DE⊥AB,FG⊥AC$,点E,G在BC上,$BC= 18cm$,求线段EG的长.

答案：
解:如答图，连接AE,AG;

∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵D为AB的中点，ED⊥AB,
∴EB=EA,
∴∠BAE=∠B=30°,
∴∠AEG=∠B+∠BAE=60°.同理可得∠AGE=60°,
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG;
又
∵AE=BE,AG=GC,
∴BE=EG=GC;
又
∵BE+EG+GC=BC=18cm,
∴EG=6cm.

5. 如图,点D,E分别在BA,AC的延长线上,且$AB= AC,AD= AE$,求证:$DE⊥BC.$

答案：
证明:如答图，过点A作AM⊥BC于点M.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAM.
∵AD=AE,
∴∠D=∠E,
∴∠BAC=∠D+∠E=2∠D,
∴∠BAM=∠D,
∴DE//AM.
∵AM⊥BC,
∴DE⊥BC;

6. 如图,在$△ABC$中,AD平分$∠BAC$,E是AD上一点,$EB⊥AB$,且$EA= EC.$
(1)若$∠BAC= 50^{\circ }$,求$∠AEC$的度数;
(2)求证:$AC= 2AB.$

答案：

(1)解:
∵AD平分∠BAC,∠BAC=50°,
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°.
∵EA=EC,
∴∠ECA=∠EAC=25°,
∴∠AEC=180°−25°−25°=130°.
(2)证明:如答图,过点E作EF⊥AC于点F.
∵EA=EC,EF⊥AC,
∴AC=2AF.
在△ABE和△AFE中，$\begin{cases}∠EAB=∠EAF\\∠ABE=∠AFE\\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(AAS),
∴AB=AF,
∴AC=2AB.