《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9. (2024·东海县期末)若在$△ABC$中,$AB= AC= 10,BC= 12$,则$△ABC$的面积为48.

答案： 48

10. (2024·连云港期末)如图,在四边形ABCD中,BD平分$∠ABC,AD= CD= 2,AB= 3,BC= 5$,则BD的长为$\sqrt{19}$.

答案： $\sqrt{19}$

11. (2024·涟水县期末)如图,在$△ABC$中,$AB= AC= 13,BC= 10$,D是BC的中点,$DE⊥AB,DF⊥AC$,垂足分别是E,F.求DE的长.

答案：
解:如答图，连接AD.　
∵AB = AC,D为BC的中点,BC = 10,　　
∴BD = CD = 5,AD⊥BC,
∴∠ADB = ∠ADC = 90°,　
∴AD = $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$ = 12.　
∵D为BC的中点，
∴S△ABD = $\frac{1}{2}$S△ABC,　
即$\frac{1}{2}$AB·DE = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×BC·AD,　
∴DE = $\frac{1}{2}$×10×12÷13 = $\frac{60}{13}$.　　　　　　
　　

12. (2024·沭阳期中)已知$∠MON= 90^{\circ }$,有一根长为10的木棒AB的两个端点A,B分别在射线OM,ON上滑动,$∠OAB$的平分线AD交OB于点D.
(1)如图①,若$OA= 6$,则$OB= $8,$OD= $3;
(2)如图②,过点B作$BE⊥AD$,交AD的延长线于点E,连接OE,在AB滑动的过程中,线段OE,BE有何数量关系,并说明理由;
解：$OE = BE$。理由：延长$BE$交$AO$的延长线于点$F$。因为$AE\perp BE$，所以$\angle AEB=\angle AEF = 90^{\circ}$。又因为$AD$平分$\angle OAB$，所以$\angle BAE=\angle FAE$。在$\triangle ABE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAE=\angle FAE\\AE = AE\\\angle AEB=\angle AEF\end{array}\right.$，根据$ASA$定理，$\triangle ABE\cong\triangle AFE$，所以$BE = FE$，$AB = AF$。因为$\angle AOB=\angle FEB = 90^{\circ}$，所以$OE$是$Rt\triangle FOB$斜边$FB$的中线，所以$OE=\frac{1}{2}FB$，又因为$BE=\frac{1}{2}FB$，所以$OE = BE$。
(3)在AB滑动的过程中,$△AOB$面积的最大值为25.(直接写出答案)

答案： 1. （1）
解：在$Rt\triangle AOB$中，$\angle MON = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$OA = 6$。
根据勾股定理$OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$，即$OB=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
因为$AD$平分$\angle OAB$，所以$\angle OAD=\angle BAD$。
又因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$BE\perp AD$，设$OD=x$，则$BD = 8 - x$。
由角平分线定理$\frac{OD}{BD}=\frac{OA}{AB}$（角平分线定理：在$\triangle ABC$中，$AD$是$\angle BAC$的平分线，则$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，这里$\triangle AOB$中，$AD$平分$\angle OAB$，可类比），即$\frac{x}{8 - x}=\frac{6}{10}$。
交叉相乘得$10x=6(8 - x)$。
展开式子$10x = 48-6x$。
移项得$10x + 6x=48$，即$16x = 48$，解得$x = 3$。
所以$OB = 8$，$OD = 3$。
2. （2）
解：$OE = BE$。
理由：延长$BE$交$AO$的延长线于点$F$。
因为$AE\perp BE$，所以$\angle AEB=\angle AEF = 90^{\circ}$。
又因为$AD$平分$\angle OAB$，所以$\angle BAE=\angle FAE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAE=\angle FAE\\AE = AE\\\angle AEB=\angle AEF\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ABE\cong\triangle AFE$，所以$BE = FE$，$AB = AF$。
因为$\angle AOB=\angle FEB = 90^{\circ}$，所以$OE$是$Rt\triangle FOB$斜边$FB$的中线（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
所以$OE=\frac{1}{2}FB$，又因为$BE=\frac{1}{2}FB$，所以$OE = BE$。
3. （3）
解：设$OA=x$，$OB = y$，则$x^{2}+y^{2}=AB^{2}=100$。
根据基本不等式$x^{2}+y^{2}\geqslant2xy$（当且仅当$x = y$时取等号），即$xy\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$。
因为$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}xy$，把$x^{2}+y^{2}=100$代入$xy\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$得$xy\leqslant50$。
所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}xy\leqslant25$。
故答案依次为：（1）$8$；$3$；（2）$OE = BE$；（3）$25$。