《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

2. 反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,然后推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,像整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数时,先假设 $ \sqrt{2} $ 是有理数,写成 $ \frac{m}{n} $ (m,n 是正整数,且没有大于 1 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤;
(2)实践操作:你能仿照证明 $ \sqrt{2} $ 是无理数的方法,用反证法证明 $ \sqrt{2} - 1 $ 也是无理数吗? 请写出详细的证明过程;
(3)拓展思考:除了 $ \sqrt{2} $ 和 $ \sqrt{2} - 1 $,你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢? 选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.

答案： （1）反证法证明步骤
1. **提出反设**：假设命题的结论不成立（即假设原结论的反面成立）。
2. **推理论证**：从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾。
3. **得出结论**：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
（2）证明$\sqrt{2}-1$是无理数
解：假设$\sqrt{2}-1$是有理数，设$\sqrt{2}-1 = \frac{p}{q}$（$p,q$是正整数，且$p,q$互质，即没有大于$1$的公约数）。
则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p + q}{q}$。
因为$p,q$是正整数，所以$\frac{p + q}{q}$是有理数，这与$\sqrt{2}$是无理数矛盾。
所以假设不成立，即$\sqrt{2}-1$是无理数。
（3）证明$\sqrt{3}$是无理数
解：假设$\sqrt{3}$是有理数，设$\sqrt{3}=\frac{m}{n}$（$m,n$是正整数，且$m,n$互质，即没有大于$1$的公约数）。
两边平方得$3=\frac{m^{2}}{n^{2}}$，即$m^{2}=3n^{2}$。
这表明$m^{2}$是$3$的倍数，因为一个数的平方是$3$的倍数，那么这个数本身也是$3$的倍数，所以设$m = 3k$（$k$是正整数）。
将$m = 3k$代入$m^{2}=3n^{2}$，得$(3k)^{2}=3n^{2}$，即$9k^{2}=3n^{2}$，化简得$n^{2}=3k^{2}$。
这又表明$n^{2}$是$3$的倍数，所以$n$也是$3$的倍数。
那么$m$和$n$都有公约数$3$，这与$m,n$互质矛盾。
所以假设不成立，即$\sqrt{3}$是无理数。