《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

11.(12分)(2024·沭阳期中)如图,C为AB上一点,$CD\perp AB$,点E在CD上,连接BD,AE,$BC= EC$,$AC= DC$.求证:$\triangle ACE\cong \triangle DCB$.

答案： 解：
因为$CD\perp AB$，所以$\angle ACE = \angle DCB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中：
$\begin{cases}AC = DC \\\angle ACE = \angle DCB \\BC = EC\end{cases}$
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$），可得$\triangle ACE\cong\triangle DCB$。

12.(12分)(2024·兴化期末)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,$AB// FC$,$AD= FC$,求证:$DE= EF$.

答案： 解(证明)：
因为$AB// FC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ADE=\angle F$，$\angle A=\angle FCE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中：
$\begin{cases}\angle ADE = \angle F\\\angle A=\angle FCE\\AD = FC\end{cases}$
根据角角边（AAS）全等判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CFE$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$DE = EF$。

13.(12分)(2024·淮安期末)如图,点B,C,E,F在同一条直线上,$AB// DF$,$AB= DF$,$BE= CF$.求证:$\angle A= \angle D$.

答案： 解：
因为$BE = CF$，
所以$BE - CE = CF - CE$（等式的性质），
即$BC = FE$。
因为$AB// DF$，
所以$\angle B=\angle F$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，
$\begin{cases}AB = DF\\\angle B=\angle F\\BC = FE\end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong\triangle DFE$（$SAS$）。
所以$\angle A=\angle D$（全等三角形的对应角相等）。

14.(14分)(2024·赣榆区期中)如图,在$\triangle ABC$中,AD是$\triangle ABC$的角平分线,P是线段AD上的一个动点,$PE\perp AD$交直线BC于点E.
(1)若$\angle B= 30^{\circ}$,$\angle ACB= 80^{\circ}$,求$\angle E$的度数;
(2)当点P在线段AD上运动时,若$\angle E$是锐角,请写出$\angle E$,$\angle ACB$,$\angle B$之间的关系,并说明理由.

答案： 1. （1）
首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，已知$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 80^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB$。
所以$\angle BAC = 180^{\circ}-30^{\circ}-80^{\circ}=70^{\circ}$。
然后求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
则$\angle BAD=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$。
最后求$\angle ADC$和$\angle E$的度数：
根据三角形外角性质$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，可得$\angle ADC = 30^{\circ}+35^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$PE\perp AD$，所以$\angle DPE = 90^{\circ}$，在$\triangle DPE$中，根据三角形内角和定理$\angle E+\angle ADC+\angle DPE = 180^{\circ}$，则$\angle E=180^{\circ}-\angle DPE-\angle ADC$。
把$\angle DPE = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 65^{\circ}$代入得$\angle E=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
2. （2）
设$\angle B = x$，$\angle ACB = y$：
先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和定理$\angle BAC=180^{\circ}-x - y$。
再求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$是角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-x - y)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y$。
然后求$\angle ADC$的度数：
根据三角形外角性质$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，则$\angle ADC=x + 90^{\circ}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=90^{\circ}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y$。
最后求$\angle E$与$\angle B$，$\angle ACB$的关系：
因为$\angle DPE = 90^{\circ}$，在$\triangle DPE$中，$\angle E+\angle ADC+\angle DPE = 180^{\circ}$，所以$\angle E=180^{\circ}-\angle DPE-\angle ADC$。
把$\angle DPE = 90^{\circ}$，$\angle ADC=90^{\circ}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y$代入得$\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$，即$\boldsymbol{\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB - \angle B)}$。
综上，（1）$\angle E$的度数为$25^{\circ}$；（2）$\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB - \angle B)$。