《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9. (2024·清江浦区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠A = 36^{\circ}$,$BD平分∠ABC交AC于点D$.求证:$AD = BC$.

答案： 证明：$\because AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。
$\because BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，
$\therefore \angle ABD = \angle DBC = 36^{\circ}$，
$\therefore \angle A = \angle ABD$，$\therefore AD = BD$。
$\because \angle C = 72^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle C = \angle BDC$，$\therefore BC = BD$，$\therefore AD = BC$。

10. (2024·自贡)如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$∠EDF = ∠C$.
(1)求证:$∠BDF = ∠A$;
(2)若$∠A = 45^{\circ}$,$DF平分∠BDE$,请直接写出$\triangle ABC$的形状.

答案：
(1) $\because DE // BC$，$\therefore \angle AED = \angle C$。
$\because \angle EDF = \angle C$，$\therefore \angle EDF = \angle AED$，
$\therefore DF // AC$，$\therefore \angle BDF = \angle A$。
(2) $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，理由如下：
$\because \angle BDF = \angle A$，$\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BDF = 45^{\circ}$。
$\because DF$ 平分 $\angle BDE$，$\therefore \angle BDE = 2 \angle BDF = 90^{\circ}$。
$\because DE // BC$，$\therefore \angle B = 180^{\circ} - \angle BDE = 90^{\circ}$。
又 $\because \angle A = 45^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC$ 是等腰直角三角形。

11. (2024·盱眙县期末)如图,锐角$\triangle ABC的两条高BD$,$CE相交于点O$,且$OB = OC$.
(1)求证:$\triangle ABC$是等腰三角形;
(2)判断点$O是否在∠BAC$的平分线上,并说明理由.

答案：

(1) 证明：$\because OB = OC$，$\therefore \angle OBC = \angle OCB$。
$\because$ 锐角 $\triangle ABC$ 的两条高 $BD$，$CE$ 相交于点 $O$，
$\therefore \angle BEC = \angle CDB = 90^{\circ}$。
$\because \angle BEC + \angle BCE + \angle ABC = \angle CDB + \angle DBC + \angle ACB = 180^{\circ}$，
$\therefore 180^{\circ} - \angle BEC - \angle BCE = 180^{\circ} - \angle CDB - \angle CBD$，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$，$\therefore AB = AC$，
$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形。
(2) 解：点 $O$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上。理由：如答图，连接 $AO$。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle AOC$ 中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AO = AO, \\ OB = OC, \end{cases}$
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOC(SSS)$，
$\therefore \angle BAO = \angle CAO$，$\therefore$ 点 $O$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上。