《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

7. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,CD和CE分别是AB边上的高和中线,若AD= 2,DE= 3,则CD的长是 (B)

A.3
B.4
C.5
D.2√5

答案： B

8. (2024·淮阴区期中)如图,将一根长12cm的筷子置于底面直径为6cm,高为8cm的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为2cm.

答案： 2

9. (2024·涟水县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,AB= 4,BC= 6.
(1)尺规作图:作AC的垂直平分线,交BC于点D,交AC于点E;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)求BD的长.

答案：

(1)如答图所示，直线DE即为所求.
(2)连接AD,如答图所示.
∵$DE$是线段$AC$的垂直平分线,
∴$DA=DC$;设$BD=x$，则$DC=AD=6-x$，
∵$∠ABC=90°$，$AB=4$，
∴$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(6-x)^{2}$，解得$x=\frac{5}{3}$，
∴$BD$的长为$\frac{5}{3}$。

10. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC,BC= 10,BD⊥AC于点D,且BD= 8.求△ABC的面积.

答案： 1. 首先，在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = CD$，$b = BD$，$c = BC$）：
已知$BC = 10$，$BD = 8$，由$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$，可得$CD=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
2. 设$AB = AC=x$，则$AD=x - 6$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，即$x^{2}=(x - 6)^{2}+8^{2}$。
展开$(x - 6)^{2}$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$（这里$a = x$，$b = 6$），$(x - 6)^{2}=x^{2}-12x + 36$。
所以$x^{2}=x^{2}-12x + 36+64$。
然后化简方程：
方程两边同时消去$x^{2}$，得到$0=-12x+100$。
移项可得$12x = 100$，解得$x=\frac{25}{3}$。
3. 最后求$\triangle ABC$的面积：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$。
已知$AC=\frac{25}{3}$，$BD = 8$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$。
所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{100}{3}$。

11. (2024·东海县期中)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,点P从点A出发,在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,连接CP.设点P运动的时间为t秒.
(1)AB的长为10;
(2)当t=3.6秒时,线段CP的长最小,且CP长的最小值为4.8;
(3)当t的值为多少时,△BCP为等腰三角形.

解:①当$BP=BC$时，$AP=AB-BP=10-8=2$，∴$t=2$。
②当$BP=CP$时，$∠B=∠BCP$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠B+∠A=∠ACP+∠BCP=90°$，
∴$∠A=∠ACP$，
∴$AP=CP$，
∴$AP=BP=CP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$t=5$；
综上所述，$t$的值为2或5时，$△BCP$为等腰三角形。

答案：
(1)10
(2)3.6　4.8
(3)解:①当$BP=BC$时，$AP=AB-BP=10-8=2$，
∴$t=2$。
②当$BP=CP$时，$∠B=∠BCP$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠B+∠A=∠ACP+∠BCP=90°$，
∴$∠A=∠ACP$，
∴$AP=CP$，
∴$AP=BP=CP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$t=5$；
综上所述，$t$的值为2或5时，$△BCP$为等腰三角形。