《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

7. (2024·湖南)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE= BF;分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN= 2,AD= 4MD,则AM= ______6.

答案： 6

8. (2024·东海县期中)如图,在四边形ABCD中,AB= AD.
(1)求作CD的垂直平分线l;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)中的直线l上求作一点P,使得$S_{△ADP}= S_{△ABP};($尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(3)在(1)(2)的作图条件下,连接PB,PC,PD.求证:PB= PC.

答案：
解:
(1)如答图，直线l即为所求作.　
(2)如答图，点P即为所求作　　　　　　　　 　
(3)由
(2)可知AP平分∠BAD，
∴∠BAP = ∠DAP.　在△BAP和△DAP中，$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle B A P = \angle D A P, } \\ { A P = A P, } \end{array} \right.$
∴△BAP≌△DAP(SAS)，
∴PB = PD.　又
∵点P在线段CD的垂直平分线上，
∴PC = PD.
∴PB = PC.

9. 如图,OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的垂直平分线,∠OBC,∠OCB的平分线相交于点I,试判定OI与BC的位置关系,并给出证明.

答案： 解：$OI\perp BC$。
证明：连接$AO$，延长$OI$交$BC$于点$M$。
因为$OE$是$AB$边的垂直平分线，所以$OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
同理，因为$OF$是$AC$边的垂直平分线，所以$OA = OC$。
所以$OB = OC$，则$\triangle OBC$是等腰三角形。
因为$BI$平分$\angle OBC$，$CI$平分$\angle OCB$，所以$\angle IBC=\frac{1}{2}\angle OBC$，$\angle ICB=\frac{1}{2}\angle OCB$。
在$\triangle OBC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)$。
在$\triangle IBC$中，$\angle BIC=180^{\circ}-(\angle IBC + \angle ICB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle OBC + \angle OCB)$。
又因为$\angle BOC + 2\angle BIC=180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)+2\left[180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle OBC + \angle OCB)\right]=360^{\circ}$，且$\angle BOC + 2\angle BIO=360^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$，这里$\angle BIO$与$\angle BIC$是同一个角），所以$\angle BIC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BOC$。
因为$OB = OC$，$BI$、$CI$是角平分线，所以$OI$是$\angle BOC$的平分线（等腰三角形三线合一的推广：三角形两个内角平分线交点与顶点连线平分顶角）。
在等腰$\triangle OBC$中，$OI$是$\angle BOC$的平分线，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合），所以$OI\perp BC$。
综上，$OI$与$BC$的位置关系是$OI\perp BC$。