《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9. (2024·姑苏区期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$的中点,$DE\perp AB,DF\perp AC$,垂足分别为$E,F$。求证：$AD垂直平分EF$。

答案： 证明：$\because$ 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线。
又 $\because DE\perp AB,DF\perp AC$，
$\therefore DE=DF,\angle AED=\angle AFD=90^{\circ}$。
又 $\because AD=AD,\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL)$，
$\therefore AE=AF$。
又 $\because DE=DF,\therefore AD$ 垂直平分 $EF$。

10. (2024·灌南县期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\angle BAC= 40^{\circ }$,$AD是BC$边上的高。线段$AC的垂直平分线交AD于点E$,交$AC于点F$,连接$BE$。
(1)试问：线段$AE与BE$的长相等吗？请说明理由；
(2)求$\angle EBD$的度数。

答案：
解：
(1)$AE=BE$，理由：如答图，连接 $CE$。
$\because$ 线段 $AC$ 的垂直平分线交 $AD$ 于点 $E$，交 $AC$ 于点 $F$，
$\therefore AE=CE$。
$\because AB=AC,AD$ 是 $BC$ 边上的高，
$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线，
$\therefore EB=EC,\therefore AE=BE$。

(2)$\because AB=AC,\angle BAC=40^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=70^{\circ}$。
$\because AB=AC,AD$ 是 $BC$ 边上的高，
$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$，
$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=20^{\circ}$。
$\because AE=BE,\therefore \angle ABE=\angle BAE=20^{\circ}$，
$\therefore \angle EBD=\angle ABC-\angle ABE=50^{\circ}$。

11. 问题：探索等腰三角形一条腰上的高与底边所成的角与顶角的关系。
(1)为了解决这个问题,我们可从特殊情形入手,
如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\angle A= 40^{\circ }$,$BD是AC$边上的高,则$\angle DBC= $$20^{\circ}$；
如图②,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\angle A= 90^{\circ }$,$BD是AC$边上的高,则$\angle DBC= $$45^{\circ}$；
如图③,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\angle BAC= 120^{\circ }$,$BD是AC$边上的高,则$\angle DBC= $$60^{\circ}$。
(2)猜想$\angle BAC与\angle DBC$的关系是$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle BAC$。
(3)对上述猜想,请你说明理由。
解：在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC,BD$ 是 $AC$ 边上的高，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle BAC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$。
在 $Rt\triangle BDC$ 中，$\angle DBC=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC)=\frac{1}{2}\angle BAC$。

答案：
(1)$20^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$
(2)$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle BAC$
(3)解：在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC,BD$ 是 $AC$ 边上的高，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle BAC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$。
在 $Rt\triangle BDC$ 中，$\angle DBC=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC)=\frac{1}{2}\angle BAC$。