《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9. 如图,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,F是BC的中点,连接DE,DF,EF.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)若∠A= 60°,DE= 2,求BC的长.

答案：
(1) 证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点，
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴△DEF是等腰三角形.
(2) 解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°−2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DF=DE=2,
∴BC=2DF=4.

10. 如图,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.
(1)若点P的运动速度是1 cm/s,点Q的运动速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),当t= 2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)若它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点都停止运动,设点P的运动时间为t(s),则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?

答案： 1. （1）
解：已知$AB = BC=6cm$，$v_{P}=1cm/s$，$v_{Q}=2cm/s$，$t = 2s$。
根据路程公式$s=vt$，可得$AP = v_{P}t=1×2 = 2cm$，$BQ = v_{Q}t=2×2 = 4cm$。
则$BP=AB - AP$，因为$AB = 6cm$，所以$BP=6 - 2=4cm$。
又因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
由于$BP = BQ = 4cm$，$\angle B = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$\triangle BPQ$是等边三角形。
2. （2）
解：已知$v_{P}=v_{Q}=1cm/s$，则$AP = BQ=tcm$，$BP=(6 - t)cm$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
当$\angle BQP = 90^{\circ}$时：
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$t=\frac{1}{2}(6 - t)$。
去括号得$t = 3-\frac{1}{2}t$。
移项得$t+\frac{1}{2}t = 3$，即$\frac{3}{2}t = 3$。
解得$t = 2$。
当$\angle BPQ = 90^{\circ}$时：
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$BP=\frac{1}{2}BQ$，即$6 - t=\frac{1}{2}t$。
移项得$-t-\frac{1}{2}t=-6$。
合并同类项得$-\frac{3}{2}t=-6$。
解得$t = 4$。
综上，（1）$\triangle BPQ$是等边三角形；（2）$t = 2$或$t = 4$。

11. 如图,∠ACB= ∠ADB= 90°,E为AB的中点,连接DE,CE,CD.
(1)求证:DE= CE;
(2)若∠CAB= 25°,∠DBA= 35°,判断△DEC的形状,并说明理由;
(3)取CD的中点F,连接EF,若∠CAB+∠ABD= 45°,CD= 12,求EF的长.

答案： 1. （1）证明：
在$Rt\triangle ADB$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，同理可得$CE=\frac{1}{2}AB$。
所以$DE = CE$。
2. （2）判断$\triangle DEC$的形状：
解：$\triangle DEC$是等边三角形。
理由：
在$Rt\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$中点，所以$CE = AE$，则$\angle ECA=\angle CAB = 25^{\circ}$，所以$\angle CEB=\angle ECA+\angle CAB=25^{\circ}+25^{\circ}=50^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADB$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$中点，所以$DE = BE$，则$\angle EDB=\angle DBA = 35^{\circ}$，所以$\angle DEB=\angle EDB+\angle DBA=35^{\circ}+35^{\circ}=70^{\circ}$。
那么$\angle DEC = 180^{\circ}-\angle CEB - \angle DEB=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$DE = CE$（已证），所以$\triangle DEC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
3. （3）求$EF$的长：
解：
在$Rt\triangle ACB$中，$E$为$AB$中点，$CE=\frac{1}{2}AB$；在$Rt\triangle ADB$中，$E$为$AB$中点，$DE=\frac{1}{2}AB$，所以$DE = CE$。
设$\angle CAB=\alpha$，$\angle ABD=\beta$，则$\alpha+\beta = 45^{\circ}$。
因为$CE = AE$，所以$\angle ECA=\alpha$，则$\angle CEB = 2\alpha$；因为$DE = BE$，所以$\angle EDB=\beta$，则$\angle DEB = 2\beta$。
所以$\angle DEC=180^{\circ}-2\alpha - 2\beta=180^{\circ}-2(\alpha+\beta)$，把$\alpha+\beta = 45^{\circ}$代入得$\angle DEC=180^{\circ}-2×45^{\circ}=90^{\circ}$。
因为$DE = CE$，$F$是$CD$中点，根据等腰直角三角形三线合一（等腰直角三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线重合），$EF\perp CD$，且$EF=\frac{1}{2}CD$。
已知$CD = 12$，所以$EF = 6$。
综上，（1）已证$DE = CE$；（2）$\triangle DEC$是等边三角形；（3）$EF = 6$。