《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

5. 在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D$,$E在直线BC$上。如图①,若$\angle DAE = 45^{\circ}$,求证：$BD^{2} + CE^{2} = DE^{2}$。
【阅读理解】(1)要证明$BD^{2} + CE^{2} = DE^{2}$,可设法将$BD$,$CE$,$DE$转化为某直角三角形的三边,故过点$A作AF\perp AD且AF = AD$,连接$CF$,$EF$。通过证明$\triangle AED\cong\triangle AEF$,$\triangle ABD\cong\triangle ACF$,即可将$BD$,$CE$,$DE三边转化到直角\triangle ECF$中。请写出证明过程。
【拓展应用】(2)如图②,若$\angle DAE = 135^{\circ}$,其他条件不变,请探究：以线段$BE$,$CD$,$DE$为三边的三角形是何种三角形？并说明理由。

答案：

(1)证明:如答图①,过点A作 $ AF \perp AD $ 且 $ AF = AD $, 连接CF, EF.
$ \because \angle DAE = 45^\circ $, $ \angle DAF = 90^\circ $, $ \therefore \angle DAE = \angle EAF = 45^\circ $.
在 $ \triangle EAD $ 和 $ \triangle EAF $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { E A = E A, } \\ { \angle E A D = \angle E A F, } \\ { A D = A F, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle E A D \cong \triangle E A F $, $ \therefore D E = E F $.
$ \because \angle B A C = 90 ^ { \circ } $, $ \angle D A E = 45 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle B A D + \angle C A E = 45 ^ { \circ } $, 又 $ \angle C A E + \angle C A F = 45 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle B A D = \angle C A F $.
在 $ \triangle B A D $ 和 $ \triangle C A F $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A F, } \\ { A D = A F, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle B A D \cong \triangle C A F $, $ \therefore B D = C F $, $ \angle B = \angle A C F = 45 ^ { \circ } $.
$ \because \angle A C B = 45 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle E C F = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore C F ^ { 2 } + E C ^ { 2 } = E F ^ { 2 } $, $ \therefore B D ^ { 2 } + C E ^ { 2 } = D E ^ { 2 } $.
(2) 解: 结论: 以线段BE, CD, DE为三边的三角形是直角三角形.
理由: 如答图②, 作 $ A F \perp A E $ 且 $ A F = A E $, 连接DF, CF.
$ \because \angle E A F = \angle B A C = 90 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle F A C = \angle E A B $.
在 $ \triangle F A C $ 和 $ \triangle E A B $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { A F = A E, } \\ { \angle F A C = \angle E A B, } \\ { A C = A B, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle F A C \cong \triangle E A B $, $ \therefore B E = C F $, $ \angle A C F = \angle E B A = 45 ^ { \circ } $.
$ \because \angle A C B = 45 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle F C B = 90 ^ { \circ } $.
$ \because \angle D A E = 135 ^ { \circ } $, $ \angle E A F = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle D A F = 360 ^ { \circ } - 135 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 135 ^ { \circ } $, $ \therefore \angle D A F = \angle D A E $.
$ \because A D = A D $, $ A F = A E $, $ \therefore \triangle D A F \cong \triangle D A E $, $ \therefore D F = D E $.
在 $ R t \triangle D C F $ 中, $ \because D F ^ { 2 } = D C ^ { 2 } + C F ^ { 2 } $, $ \therefore D E ^ { 2 } = D C ^ { 2 } + B E ^ { 2 } $,
$ \therefore $ 以线段BE, CD, DE为三边的三角形是直角三角形.