《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

8. (2024·淮安期末)定义:一次函数$ y = k x + b 和一次函数 y = - b x - k $互为“相反函数”($ k + b \neq 0 $),如$ y = 2 x + 4 和 y = - 4 x - 2 $互为“相反函数”.若$ P 既是 y = 4 x - 3 $图象上的点,又是它的“相反函数”图象上的点,则点$ P $的坐标为______$ (-1, -7) $.

答案： $ (-1, -7) $

9. 一辆汽车在普通公路上行驶35km后驶入高速公路,并以90km/h的速度匀速行驶了$ x $h,设汽车行驶的总路程为$ y $km.
(1)直接写出$ y 与 x $的函数表达式;
(2)若汽车在高速公路上行驶了2h,求此时汽车行驶的总路程;
(3)若汽车在高速公路上行驶的路程不超过675km,求汽车在高速公路上行驶时间的取值范围.

答案：
(1) 由题意，得 $ y = 90x + 35 $.
(2) 当 $ x = 2 $ 时，$ y = 90 × 2 + 35 = 215 $.答: 此时汽车行驶的总路程是 215 km.
(3) 由题意，得 $ 90x \leq 675 $，解得 $ x \leq 7.5 $，故汽车在高速公路上行驶时间的取值范围是 $ 0 \leq x \leq 7.5 $.

10. $ A $,$ B $两个码头之间航程为24千米,甲、乙两轮船同时出发,甲轮船从$ A 码头顺流匀速航行到 B $码头后,立即逆流匀速航行返回到$ A $码头,乙轮船从$ B 码头逆流匀速航行到 A $码头后停止,两轮船在静水中的速度均为10千米/时,水流速度不变,两轮船距$ A 码头的航程 y $(千米)与各自的航行时间$ x $(时)之间的函数图象如图所示.
(1)水流速度为2千米/时,$ a $的值为2;
(2)求甲轮船从$ B 码头向 A 码头返回过程中 y 与 x $之间的函数表达式;
解: 设甲轮船从 B 码头向 A 码头返回过程中 y 与 x 之间的函数表达式为 $ y = kx + b $，由图象可得，甲轮船从 B 码头向 A 码头返回需要 3 小时，∴点 $ (2, 24) $，$ (5, 0) $ 在该函数图象上，∴ $ \begin{cases} 2k + b = 24 \\ 5k + b = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -8 \\ b = 40 \end{cases} $，即甲轮船从 B 码头向 A 码头返回过程中 y 与 x 之间的函数表达式为 $ y = -8x + 40 $.
(3)当乙轮船到达$ A $码头时,求甲轮船距$ A $码头的航程.
解: 由(2)知，当 $ x = 3 $ 时，$ y = -8 × 3 + 40 = 16 $.
答: 当乙轮船到达 A 码头时，甲轮船距 A 码头的航程为 16 千米.

答案：
(1) 2 2
(2) 解: 设甲轮船从 B 码头向 A 码头返回过程中 y 与 x 之间的函数表达式为 $ y = kx + b $，由图象可得，甲轮船从 B 码头向 A 码头返回需要 3 小时，
∴点 $ (2, 24) $，$ (5, 0) $ 在该函数图象上，
∴ $ \begin{cases} 2k + b = 24 \\ 5k + b = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -8 \\ b = 40 \end{cases} $，即甲轮船从 B 码头向 A 码头返回过程中 y 与 x 之间的函数表达式为 $ y = -8x + 40 $.
(3) 解: 由
(2)知，当 $ x = 3 $ 时，$ y = -8 × 3 + 40 = 16 $.答: 当乙轮船到达 A 码头时，甲轮船距 A 码头的航程为 16 千米.

11. 如图,在长方形$ M N P Q $中,$ M N = 6 $,$ P N = 4 $,动点$ R 从点 N $出发,沿$ N \to P \to Q \to M 的方向运动至点 M $停止.设点$ R 运动的路程为 x $,$ \triangle M N R 的面积为 y $.
(1)当$ x = 3 $时,$ y = $9;当$ x = 12 $时,$ y = $6;当$ y = 6 $时,$ x = $2 或 12.
(2)分别求当$ 0 ＜ x ＜ 4 $,$ 4 \leqslant x \leqslant 10 $,$ 10 ＜ x ＜ 14 $时,$ y 与 x $的函数表达式.

解: 当 $ 0 ＜ x ＜ 4 $ 时，点 R 在 PN 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot RN = \frac{1}{2} × 6x = 3x $;当 $ 4 \leq x \leq 10 $ 时，点 R 在 QP 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot PN = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $;当 $ 10 ＜ x ＜ 14 $ 时，点 R 在 QM 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot RM = \frac{1}{2} × 6 × [4 - (x - 10)] = 42 - 3x $.

答案：
(1) 9 6 2 或 12
(2) 解: 当 $ 0 ＜ x ＜ 4 $ 时，点 R 在 PN 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot RN = \frac{1}{2} × 6x = 3x $;当 $ 4 \leq x \leq 10 $ 时，点 R 在 QP 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot PN = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $;当 $ 10 ＜ x ＜ 14 $ 时，点 R 在 QM 上运动，$ y = \frac{1}{2}MN \cdot RM = \frac{1}{2} × 6 × [4 - (x - 10)] = 42 - 3x $.