《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

11.(12分)如图,在$\triangle ABC$中,D为BC边上的一点,过点D作$DE⊥AB$于点E,$DF⊥AC$于点F,且$AE= AF$,连接AD,求证:$\frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}= \frac {AB}{AC}$.

答案： 证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEA = ∠DFA = 90°.
∵AD = AD,AE = AF,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴DE = DF,
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF} = \frac{AB}{AC}$.

12.(12分)如图,$AB= AC,AB⊥AC,AD⊥AE$,且$∠ABD= ∠ACE$.求证:$BD= CE$.

答案： 证明：
∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE + ∠CAE = 90°, ∠BAE + ∠BAD = 90°,
∴∠CAE = ∠BAD. 又
∵AB = AC, ∠ABD = ∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD = CE.

13.(12分)(2024·赣榆区期中)如图,点E,F在BC上,$AB= DC,AF= DE,∠A= ∠D$.
(1)求证:$\triangle ABF\cong \triangle DCE$;
(2)若$BC= 15,EF= 7$,求BE的长.

答案：
(1) 证明：在 △ABF 和 △DCE 中，$\begin{cases} AB = DC, \\ ∠A = ∠D, \\ AF = DE, \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE(SAS).
(2) 解：
∵△ABF≌△DCE,
∴BF = CE,
∴BE = CF.
∵BC = 15,EF = 7,
∴2BE = 8,
∴BE = 4.

14.(14分)如图,在$\triangle ABC$中,D是BC边上的一点,$AB= DB$,BE平分$∠ABC$,交AC边于点E,连接DE.
(1)求证:$\triangle ABE\cong \triangle DBE$;
(2)若$∠A= 100^{\circ },∠C= 50^{\circ }$,求$∠AEB$的度数.

答案：
(1) 证明：
∵BE 平分 ∠ABC,
∴∠ABE = ∠DBE.在 △ABE 和 △DBE 中，$\begin{cases} AB = DB, \\ ∠ABE = ∠DBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴△ABE≌△DBE(SAS).
(2) 解：
∵∠A = 100°, ∠C = 50°,
∴∠ABC = 30°.
∵BE 平分 ∠ABC,
∴∠ABE = ∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 15°.在 △ABE 中，∠AEB = 180° - ∠A - ∠ABE = 180° - 100° - 15° = 65°.