《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

7. 下列对△ABC的判断,错误的是 (D)
A.若AB= AC,∠B= 60°,则△ABC是等边三角形
B.若∠A:∠B:∠C= 1:2:3,则△ABC是直角三角形
C.若∠A= 20°,∠B= 80°,则△ABC是等腰三角形
D.AB= BC,∠C= 40°,则∠B= 40°

答案： D

8. 如图,D,E是BC上的三等分点,△ADE是等边三角形,那么∠BAC的度数为120°.

答案： 120°

9. (2024·灌南县期中)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,直线l经过顶点A,且与边BC平行,在直线l上有一点P,当AP的值为2或4时,使得∠APC = $\frac{1}{2}$∠ACB.

答案： 2或4

10. (2024·东海县期中)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.

答案： 解：
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，且等腰三角形两底角相等，所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$AD\perp AB$，所以$\angle BAD = 90^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B-\angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
同理，因为$AE\perp AC$，所以$\angle CAE = 90^{\circ}$，则$\angle AEB=180^{\circ}-\angle C-\angle CAE=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=\angle AED = 60^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DAE=180^{\circ}-\angle ADE-\angle AED=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
所以$\angle DAE=\angle ADE=\angle AED = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理（三个角都相等的三角形是等边三角形），可得$\triangle ADE$是等边三角形。

11. (2025·灌南县期中)在边长为9的等边△ABC中,P是AB上一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动,设运动时间为t秒.
(1)如图①,若Q是BC上一定点,BQ= 6,当PQ//AC时,求t的值;
(2)如图②,若点P出发的同时,点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动,当t为何值时,△APQ为等边三角形?

答案： 1. （1）
解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle A = \angle C=60^{\circ}$。
当$PQ// AC$时，$\angle BPQ=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle BQP=\angle C = 60^{\circ}$。
所以$\triangle BPQ$是等边三角形，则$BP = BQ$。
已知$AB = 9$，$AP=t$，$BQ = 6$，$BP=AB - AP=9 - t$。
由$BP = BQ$，可得$9 - t=6$，解得$t = 3$。
2. （2）
解：
①当$0\lt t\leqslant\frac{9}{2}$时，$AP=t$，$BQ = 2t$，$AQ=9 - 2t$。
若$\triangle APQ$为等边三角形，则$AP = AQ$，即$t=9 - 2t$，
移项可得$t + 2t=9$，$3t=9$，解得$t = 3$。
②当$\frac{9}{2}\lt t\leqslant9$时，$AP=t$，$CQ=2t - 9$，$AQ=9-(2t - 9)=18 - 2t$。
若$\triangle APQ$为等边三角形，则$AP = AQ$，即$t=18 - 2t$，
移项可得$t + 2t=18$，$3t=18$，解得$t = 6$。
综上，（1）$t$的值为$3$；（2）$t$的值为$3$或$6$。