《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

1. 如图,点 C 在 BD 上,$AB⊥BD$,$ED⊥BD$,$AC⊥CE$,$AB = CD$。
求证：$\triangle ABC≌\triangle CDE$。

答案： 证明：$\because AB\perp BD$，$ED\perp BD$，$AC\perp CE$，
$\therefore \angle B=\angle D=\angle ACE=90^{\circ }$，
$\therefore \angle DCE+\angle DEC=90^{\circ }$，$\angle BCA+\angle DCE=90^{\circ }$，
$\therefore \angle BCA=\angle DEC$．
在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle BCA=\angle DEC,\\ \angle B=\angle D,\\ AB=CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC≌ \triangle CDE(\text{AAS})$．

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,D 是 AB 上一点,$AE⊥CD$于点 E,$BF⊥CD$交 CD 的延长线于点 F,求证：$AE = EF + BF$。

答案： 证明：$\because \angle ACB=90^{\circ }$，$\therefore \angle ACE+\angle BCF=90^{\circ }$．
$\because AE\perp CF$，$BF\perp CF$，$\therefore \angle AEC=\angle BFC=90^{\circ }$，
$\angle ACE+\angle CAE=90^{\circ }$，$\therefore \angle CAE=\angle BCF$．
在$\triangle AEC$和$\triangle CFB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle AEC=\angle CFB,\\ \angle CAE=\angle BCF,\\ AC=CB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AEC≌ \triangle CFB(\text{AAS})$，$\therefore CE=BF$，$AE=CF$．
$\because CF=CE+EF=BF+EF$，$\therefore AE=EF+BF$．

3. 如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$∠ACB = 90^{\circ}$,F 是 AB 的中点,直线 l 经过点 C,分别过点 A,B 作 l 的垂线,即$AD⊥CE$,$BE⊥CE$。
(1) 如图①,当 CE 位于点 F 的右侧时,求证：$\triangle ADC≌\triangle CEB$；
(2) 如图②,当 CE 位于点 F 的左侧时,求证：$ED = BE - AD$；
(3) 如图③,当 CE 在$\triangle ABC$的外部时,试猜想 ED,AD,BE 之间的数量关系,并证明你的猜想。

答案：
(1) 证明：$\because AD\perp CE$，$BE\perp CE$，$\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ }$，
$\therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ }$．
$\because \angle ACD+\angle ECB=90^{\circ }$，$\therefore \angle CAD=\angle BCE$．
$\because \angle ADC=\angle CEB$，$AC=CB$，$\therefore \triangle ADC≌ \triangle CEB(\text{AAS})$．
(2) 证明：$\because AD\perp CE$，$BE\perp CE$，$\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ }$，
$\therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ }$．
$\because \angle ACD+\angle ECB=90^{\circ }$，$\therefore \angle CAD=\angle BCE$．
$\because \angle ADC=\angle CEB$，$AC=CB$，$\therefore \triangle ADC≌ \triangle CEB(\text{AAS})$，
$\therefore DC=BE$，$AD=CE$．
$\because ED=CD-CE$，$\therefore ED=BE-AD$．
(3) 解：$ED=AD+BE$．证明如下：$\because AD\perp CE$，$BE\perp CE$，
$\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ }$，$\therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ }$．
$\because \angle ACB=90^{\circ }$，$\therefore \angle ACD+\angle BCE=90^{\circ }$，
$\therefore \angle CAD=\angle BCE$．
$\because \angle ADC=\angle CEB$，$AC=CB$，$\therefore \triangle ADC≌ \triangle CEB(\text{AAS})$，
$\therefore DC=BE$，$AD=CE$．
$\because ED=CE+DC$，$\therefore ED=AD+BE$．