《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

9. (2024·灌南县期中)小明同学用圆规和直尺按下面方法作$∠AOB$的平分线：作法：①如图,以点$O$为圆心,任意长为半径画弧与$OA$,$OB交于点C$,$D$；②再以点$O$为圆心,任意长为半径画弧与$OA$,$OB交于点E$,$F$；③连接$CF$,$DE交于点P$,连接$OP$,则$OP平分∠AOB$. 老师说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的,并且小明已证出$OP平分∠AOB$,请你也作出证明吧.

答案： 证明：由作法得$OC = OD, OE = OF$。
在$\triangle OCF$和$\triangle ODE$中，$\left\{\begin{array}{l} OC = OD, \\ \angle COF = \angle DOE, \\ OF = OE, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle OCF \cong \triangle ODE(SAS), \therefore \angle OEP = \angle OFP$。
$\because OE = OF, OC = OD, \therefore CE = DF$。
又$\because \angle CPE = \angle DPF, \therefore \triangle CPE \cong \triangle DPF(AAS)$，
$\therefore PE = PF, \therefore \triangle OPE \cong \triangle OPF(SSS)$，
$\therefore \angle POE = \angle POF, \therefore OP$平分$\angle AOB$。

10. (2024·连云港改编)如图,$AB与CD相交于点E$,$EC= ED$,$AC// BD$.
(1)求证：$\triangle AEC≌\triangle BED$；
(2)尺规作图：作线段$CD的垂直平分线MN$,交$AC于点M$,交$BD于点N$,连接$DM$,$CN$；
(3)求证：$CM= MD= DN= NC$.

答案：

(1) 证明：$\because AC // BD, \therefore \angle EAC = \angle EBD, \angle ACE = \angle BDE$。
又$\because EC = ED, \therefore \triangle AEC \cong \triangle BED(AAS)$。
(2) 解：如答图，直线$MN$即为所求作。

(3) 证明：由作图知$\angle DEM = \angle CEM = \angle DEN = \angle CEN = 90^{\circ}$。
又$\because EC = ED, ME = ME, \therefore \triangle MED \cong \triangle MEC(SAS)$，
$\therefore MD = MC$。同理，$ND = NC$。
在$\triangle CEM$和$\triangle DEN$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle MCE = \angle NDE, \\ EC = ED, \\ \angle CEM = \angle DEN, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle CEM \cong \triangle DEN(ASA)$，
$\therefore CM = DN, \therefore CM = MD = DN = NC$。