《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

9. 下列四个命题中,错误的是 (B)
A. 正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴
B. 正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心
C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

答案： B

10. [教材P109习题24.3第7题改编]若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,则下列关系成立的是 (C)
A. $S_{1}= S_{2}= S_{3}$
B. $S_{1}＞S_{2}＞S_{3}$
C. $S_{1}＜S_{2}＜S_{3}$
D. $S_{2}＞S_{3}＞S_{1}$

答案： C

周长相等,比面积大小→半径相等,求边长之比
半径为r的圆内接正三角形、正方形和正六边形的边长之比为$ \sqrt{3}:\sqrt{2}:1 $.

答案： $ \sqrt{3}:\sqrt{2}:1 $

11. [2024·合肥肥东模拟]如图,正五边形 ABCDE 内接于$\odot O$,点 F 在弧 AE 上.若$∠CDF= 96^{\circ }$,则$∠FCD$的大小等于48$^{\circ }$.

答案： 48

12. 如图,已知$\odot O和\odot O$上的一点 A.
(1) 作$\odot O$的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH;(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在(1)的作图中,求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.

答案：
解：
(1)如图所示.
　　　　　　　　
(2)连接 $ OE $，$ DE $.
$ \because \angle AOD = 90^{\circ} $，$ \angle AOE = 60^{\circ} $，
$ \therefore \angle DOE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $，
$ \therefore DE $ 为 $ \odot O $ 的内接正十二边形的一边.

13. [探究题]某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,进行如下讨论:
甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形.
乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形,如图1,$\triangle ABC$是正三角形,$\overset{\frown }{AD}= \overset{\frown }{BE}= \overset{\frown }{CF}$,可以证明六边形 ADBECF 的各内角相等,但它未必是正六边形.
丙同学:我能证明边数是5时,它是正多边形,我想边数是7时,它可能也是正多边形.
(1) 请你证明乙同学构造的六边形 ADBECF 各内角相等;
由图知 $ \angle AFC $ 对 $ \overset{\frown}{ABC} $，$ \angle DAF $ 对 $ \overset{\frown}{DEF} $，
$ \because \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DBC} $，$ \overset{\frown}{DEF} = \overset{\frown}{DBC} + \overset{\frown}{CF} $，$ \overset{\frown}{FC} = \overset{\frown}{AD} $，
$ \therefore \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{DEF} $，$ \therefore \angle AFC = \angle DAF $．
同理可得，其余各内角都等于 $ \angle AFC $，
$ \therefore $ 六边形 $ ADBECF $ 各内角相等．
(2) 请你证明:各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图2)是正七边形;(不必写已知,求证)
$ \because \angle A $ 对 $ \overset{\frown}{BEG} $，$ \angle B $ 对 $ \overset{\frown}{CEA} $，
又 $ \because \angle A = \angle B $，$ \therefore \overset{\frown}{BEG} = \overset{\frown}{CEA} $，
$ \therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AG} $，$ \therefore BC = AG $，
同理可得，$ BA = CD = EF = AG = BC = DE = FG $，
$ \therefore $ 各内角都相等的圆内接七边形 $ ABCDEFG $ 是正七边形．
(3) 根据以上探索过程,提出你的猜想.(不必证明)
当边数是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形．

答案： 解：
(1)由图知 $ \angle AFC $ 对 $ \overset{\frown}{ABC} $，$ \angle DAF $ 对 $ \overset{\frown}{DEF} $，
$ \because \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DBC} $，$ \overset{\frown}{DEF} = \overset{\frown}{DBC} + \overset{\frown}{CF} $，$ \overset{\frown}{FC} = \overset{\frown}{AD} $，
$ \therefore \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{DEF} $，$ \therefore \angle AFC = \angle DAF $.
同理可得，其余各内角都等于 $ \angle AFC $，
$ \therefore $ 六边形 $ ADBECF $ 各内角相等.
(2) $ \because \angle A $ 对 $ \overset{\frown}{BEG} $，$ \angle B $ 对 $ \overset{\frown}{CEA} $，
又 $ \because \angle A = \angle B $，$ \therefore \overset{\frown}{BEG} = \overset{\frown}{CEA} $，
$ \therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AG} $，$ \therefore BC = AG $，
同理可得，$ BA = CD = EF = AG = BC = DE = FG $，
$ \therefore $ 各内角都相等的圆内接七边形 $ ABCDEFG $ 是正七边形.
(3)猜想：当边数是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形.