《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

1. [2023·安徽第5题]下列函数中,y的值随x值的增大而减小的是(D)
A. $ y = x ^ { 2 } + 1 $
B. $ y = - x ^ { 2 } + 1 $
C. $ y = 2 x + 1 $
D. $ y = - 2 x + 1 $

答案： D

2. [2021·安徽第14题]设抛物线$ y = x ^ { 2 } + ( a + 1 ) x + a $,其中a为实数.
(1)若抛物线经过点$ ( - 1, m ) $,则$ m = $0；
(2)将抛物线$ y = x ^ { 2 } + ( a + 1 ) x + a $向上平移2个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是2.

答案：
(1)0
(2)2

3. [2024·安徽第23题节选]已知抛物线$ y = - x ^ { 2 } + b x $(b为常数)的顶点横坐标比抛物线$ y = - x ^ { 2 } + 2 x $的顶点横坐标大1.
(1)求b的值；4
(2)点$ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) 在抛物线 y = - x ^ { 2 } + 2 x $上,点$ B ( x _ { 1 } + t, y _ { 1 } + h ) 在抛物线 y = - x ^ { 2 } + b x $上.
(ⅰ)若$ h = 3 t $,且$ x _ { 1 } \geq 0 $,$ t ＞ 0 $,求h的值.3

答案： 解：
(1)因为抛物线 $ y = -x^{2} + bx $ 的顶点横坐标为 $ \frac{b}{2} $，$ y = -x^{2} + 2x $ 的顶点横坐标为 1，
由条件得 $ \frac{b}{2} - 1 = 1 $，解得 $ b = 4 $。
(2)因为点 $ A(x_{1}, y_{1}) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 上，
所以 $ y_{1} = -x_{1}^{2} + 2x_{1} $。
又点 $ B(x_{1} + t, y_{1} + h) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 4x $ 上，
则 $ y_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $。
于是 $ -x_{1}^{2} + 2x_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $，
整理得 $ h = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $。
(ⅰ)因为 $ h = 3t $，所以 $ 3t = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $，
整理得 $ t(t + 2x_{1}) = t + 2x_{1} $。
又 $ x_{1} \geq 0 $，$ t ＞ 0 $，所以 $ t + 2x_{1} ＞ 0 $，
故 $ t = 1 $，从而 $ h = 3 $。

4. [2022·安徽第23题节选]如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成,矩形的一边BC为12米,另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,规定一个单位长度代表1米.$ E ( 0,8 ) $是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
(2)在隧道截面内(含边界)修建“▭▭”型或“▭”型栅栏,如图2中粗线段所示,点$ P _ { 1 } $,$ P _ { 4 } $在x轴上,MN与矩形$ P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 } P _ { 4 } $的一边平行且相等,栅栏总长l为图中粗线段$ P _ { 1 } P _ { 2 } $,$ P _ { 2 } P _ { 3 } $,$ P _ { 3 } P _ { 4 } $,MN长度之和.请解决以下问题：
(ⅰ)修建一个“▭▭”型栅栏,如图2,点$ P _ { 2 } $,$ P _ { 3 } $在抛物线AED上.设点$ P _ { 1 } $的横坐标为m($ 0 ＜ m \leq 6 $),求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值.
(1)此抛物线对应的函数表达式为$ y = -\frac{1}{6}x^{2} + 8 $。
(2)(ⅰ)栅栏总长l与m之间的函数表达式为$ l = -\frac{1}{2}m^{2} + 2m + 24 $，l的最大值为26。

答案： 解：
(1) $ y = -\frac{1}{6}x^{2} + 8 $。
(2)(ⅰ) $ l = 3 \times (-\frac{1}{6}m^{2} + 8) + 2m = -\frac{1}{2}m^{2} + 2m + 24 $，整理得 $ l = -\frac{1}{2}(m - 2)^{2} + 26 $。
$ \because -\frac{1}{2} ＜ 0 $，$ 0 ＜ m \leq 6 $，
$ \therefore $ 当 $ m = 2 $ 时，$ l $ 取得最大值为 26。
答：栅栏总长 $ l $ 与 $ m $ 之间的函数表达式为 $ l = -\frac{1}{2}m^{2} + 2m + 24 $，$ l $ 的最大值为 26。