《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } $ 与一次函数 $ y = 2 x + 1 $ 相交于 $ A $,$ B $ 两点,$ C $ 是线段 $ AB $ 上的动点,$ D $ 是抛物线上的动点,且 $ CD $ 平行于 $ y $ 轴. 在移动过程中,线段 $ CD $ 的最大值为2.

答案： 2

2. [2024·临夏州中考节选]在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 1, 0 ) $,$ B ( 3, 0 ) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,作直线 $ BC $.
(1)求抛物线的解析式.$ y = -x^{2} + 2x + 3 $
(2)如图,$ P $ 是线段 $ BC $ 上方的抛物线上一动点,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp B C $,垂足为点 $ Q $,请问线段 $ PQ $ 是否存在最大值？若存在,请求出最大值及此时点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.存在，最大值为 $ \frac{9\sqrt{2}}{8} $，此时点 $ P\left( \frac{3}{2}, \frac{15}{4} \right) $

答案： 解：
(1)抛物线的解析式为 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $。
(2) $ PQ $ 的最大值为 $ \frac{9\sqrt{2}}{8} $，此时点 $ P\left( \frac{3}{2}, \frac{15}{4} \right) $。

3. 如图,抛物线 $ y = x ^ { 2 } - b x + 3 $ 交 $ x $ 轴于点 $ C ( 1, 0 ) $,点 $ B $,交 $ y $ 轴于点 $ A $,对称轴是直线 $ x = 2 $. 已知 $ P $ 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 $ P $,使 $ \triangle P A C $ 的周长最小？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

存在，点 $ P $ 的坐标为(2, 1).

答案： 解：连接 $ PA $，$ PC $，$ PB $。易知 $ PB = PC $，
$ \therefore $ 当 $ A $，$ P $，$ B $ 三点共线时，$ \triangle PAC $ 的周长最小为 $ AC + AB $。
易知点 $ P $ 的坐标为 $ (2, 1) $。

4. 如图,抛物线过点 $ O ( 0, 0 ) $,$ E ( 10, 0 ) $,矩形 $ A B C D $ 的边 $ A B $ 在线段 $ O E $ 上(点 $ B $ 在点 $ A $ 的左侧),点 $ C $,$ D $ 在抛物线上,设点 $ B ( t, 0 ) $,当 $ t = 2 $ 时,$ B C = 4 $.
(1)求抛物线的解析式.$ y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{5}{2}x $
(2)当 $ t $ 为何值时,矩形 $ ABCD $ 的周长有最大值？最大值是多少？当 $ t = $1时，矩形 $ ABCD $ 的周长有最大值，最大值是$ \frac{41}{2} $.

答案： 解：
(1)抛物线的解析式为 $ y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{5}{2}x $。
(2)当 $ t = 1 $ 时，矩形 $ ABCD $ 的周长有最大值，最大值为 $ \frac{41}{2} $。