《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

10. 如图,半径OA,OB,OC将一个圆分成三个大小相同的扇形,其中弦$AD= BD,\widehat {AE}= \frac {1}{2}\widehat {CE}$,则$∠DOE$等于 (A)

A. $100^{\circ }$
B. $110^{\circ }$
C. $120^{\circ }$
D. $130^{\circ }$

答案： A

11. 如图,在$\odot O$中,$\widehat {AC}= 2\widehat {AB}$,则下列数量关系正确的是 (C)

A. $AB= AC$
B. $AC= 2AB$
C. $AC＜2AB$
D. $AC＞2AB$

答案： C

由弧到弦→由角到弦
[易错题]如图,在$\odot O$中,如果$∠AOB= 2∠COD$,那么 (D)

A. $AB= 2DC$
B. $AB＞2DC$
C. $AB≥2DC$
D. $AB＜2DC$

答案： D

12. [2024·池州贵池区二模]如图,C是直径AB的三等分点(AC＜CB),D是$\widehat {ADB}$的三等分点$(\widehat {BD}＜\widehat {AD}). $若直径AB= 12,则DC的长为______$2\sqrt{13}$.

答案： $2\sqrt{13}$

13. [教材P90习题24.1第13题改编]已知A,B是$\odot O$上的两点,$∠AOB= 120^{\circ }$,C是$\widehat {AB}$的中点.

(1)如图1,求证:四边形OACB是菱形;
(2)如图2,将线段OA绕圆心O逆时针旋转$30^{\circ }$,得到线段$OA',OA'$交AC于点E,连接BE,若$CE= 1$,求BE的长.$\sqrt{7}$

答案： 解：
(1)连接 $OC$.
$\because \angle AOB=120^{\circ}$，$C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，
$\therefore \angle AOC=\angle BOC=60^{\circ}$，
$\because OA=OC,\therefore \triangle ACO$ 是等边三角形，
$\therefore OA=AC$，同理 $OB=BC$，
$\therefore OA=AC=BC=OB$，
$\therefore$ 四边形 $OACB$ 是菱形.
(2)$BE=\sqrt{7}$.

14. 已知点A,B,C,D在$\odot O$上,且$\widehat {AD}= \widehat {BC}$,E是AB(不是直径)延长线上一点,且$BE= AB$,F是EC的中点.
(1)如图1,探索BF与BD之间的数量关系,并说明理由.
BF=$\frac{1}{2}BD$
(2)如图2,G是BD的中点,过点B作$BP⊥AE$,连接PG,PF. 求证:$PG= PF$.

答案： 解：
(1)$BF=\frac{1}{2}BD$. 理由略.
(2)证明略.