《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

9. 已知抛物线 $ y = -(x + 3)^2 $ 上两点 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $,若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ -2 $,则下列说法正确的是 (A)
A. $ y_1 ＜ y_2 ＜ 0 $
B. $ y_2 ＜ y_1 ＜ 0 $
C. $ 0 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D. $ y_1 ＜ 0 ＜ y_2 $

答案： A 

点在对称轴同侧→点在对称轴异侧
(1) 已知点 $ A(5, y_1), B(-3, y_2) $ 都在抛物线 $ y = 3(x - 2)^2 $ 上,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是$y_2\gt y_1$.(用“＞”连接)
(2) 已知点 $ A(-4, y_1), B(-3, y_2), C(3, y_3) $ 在抛物线 $ y = -2(x + 2)^2 $ 上,则 $ y_1, y_2, y_3 $ 的大小关系为$y_2\gt y_1\gt y_3$.(用“＞”连接)

答案： 1.$y_2\gt y_1$ 2.$y_2\gt y_1\gt y_3$

10. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = a(x + c)^2 $ 的图象大致为 (B)

答案： B

11. [与 T1 互为孪生题]在平面直角坐标系中,若抛物线 $ y = 2x^2 + 1 $ 的图象不动,把 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别向上、向右平移 1 个单位长度,则在新坐标系中,该抛物线的解析式为$y = 2(x + 1)^2$.

答案： $y = 2(x + 1)^2$

12. [2023·合肥五十中期中]如图,在平面直角坐标系中有两个抛物线,其顶点 $ P, Q $ 均在 $ x $ 轴上,且有一条水平线与两抛物线相交于点 $ A, B, C, D $. 若 $ AB = 10, BC = 5, CD = 6 $,则 $ PQ $ 的长为____8.

答案： 8

13. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = 6(x + 1)^2 $ 的对称轴相同,且抛物线经过点 $ (2, 3) $.
(1) 求 $ a= $$\frac{1}{3}$, $ h= $$-1$的值;
(2) 若某抛物线与已知抛物线 $ y = 6(x + 1)^2 $ 关于坐标原点对称,求该抛物线的解析式为$y = -6(x - 1)^2$.

答案： 解：（1）由题可得$h = -1$，$\therefore y = a(x + 1)^2$，
把点$(2,3)$代入，得$9a = 3$，解得$a = \frac{1}{3}$。
（2）$y = -6(x - 1)^2$。

14. [基本思想—数形结合思想]把二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 2 $ 的图象先向右平移 4 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度.
(1) 请直接写出平移后所得图象的函数解析式;$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$
(2) 若(1)中所求得的函数图象的顶点为 $ C $,并与一次函数 $ y = x $ 的图象交于 $ A, B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),求 $ \triangle ABC $ 的面积.12

答案： 解：（1）$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2$。
（2）由（1）知顶点$C$的坐标是$(4,0)$。
联立$\begin{cases}y = x,\\y = \frac{1}{2}(x - 4)^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 8,\\y = 8\end{cases}$，
$\therefore$点$A(2,2)$，点$B(8,8)$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OBC} - S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2}×8×4 - \frac{1}{2}×4×2 = 12$。