《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

1. 用十字相乘法解方程：
(1) $ x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 $；
(2) $ 5 x ^ { 2 } - 3 x = x + 1 $。

答案：

(1)解:十字相乘如图:
∴(x + 1)(x - 4) = 0,

解得x₁ = -1, x₂ = 4.
(2)解:整理得5x² - 4x - 1 = 0,
十字相乘如图:
∴(x - 1)(5x + 1) = 0,

解得x₁ = 1, x₂ = -$\frac{1}{5}$.

2. 已知 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = 8 $,那么 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ 的值是 (A)
A. 2
B. -4
C. 2 或 -4
D. 不确定

答案： A

3. 已知实数 $ x $ 满足 $ ( x ^ { 2 } - x ) ^ { 2 } - 2 ( x ^ { 2 } - x ) - 3 = 0 $,则代数式 $ x ^ { 2 } - x + 2025 $ 的值为 2028。

答案： 2028

变式训练
求所换“元”的值→求所换“元”中未知数的值
方程 $ ( x ^ { 2 } + 5 x + 1 ) ( x ^ { 2 } + 5 x + 7 ) = 7 $ 的解为 。

答案： x₁ = 0, x₂ = -5

4. 已知实数 $ m $,$ n $ 满足 $ ( m + 3 n ) ( m + 3 n - 2 ) = 2 m + 6 n - 4 $,求 $ 4 m + 12 n - 3 $ 的值。

答案： 解:
∵(m + 3n)(m + 3n - 2) = 2m + 6n - 4,
∴(m + 3n)(m + 3n - 2) = 2(m + 3n) - 4,
设m + 3n = t,则有t(t - 2) = 2t - 4,
整理,得t² - 4t + 4 = (t - 2)² = 0,
解得t = 2,即m + 3n = 2,
∴4m + 12n - 3 = 4(m + 3n) - 3 = 4×2 - 3 = 5.