《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

1. [2024·宜宾中考]如图,AB 是$\odot O$的直径,若$∠CDB= 60^{\circ }$,则$∠ABC$的度数等于(A)

A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $60^{\circ }$
D. $90^{\circ }$

答案： A

2. [2024·甘肃中考]如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,$AC⊥OB$,垂足为点 D. 若$∠A= 35^{\circ }$,则$∠C$的度数是(A)

A. $20^{\circ }$
B. $25^{\circ }$
C. $30^{\circ }$
D. $35^{\circ }$

答案： A

3. 如图,五边形 ABCDE 内接于$\odot O$,$BC= DE$,连接 AC,AD,求证：$∠BCD+∠CAE= 180^{\circ }$.

证明：因为$BC = DE$，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，则$\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{CDE}$。
由圆周角定理可知$\angle CAE$所对弧为$\overset{\frown}{CDE}$，$\angle BCD$所对弧为$\overset{\frown}{BAD}$，且$\overset{\frown}{BCD}+\overset{\frown}{BAD}=360^{\circ}$。
根据圆周角与弧的关系，可得$\angle BCD+\angle CAE = 180^{\circ}$。

答案： 【解析】：
因为$BC = DE$，根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$。
那么$\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{CDE}$。
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，所以$\angle CAE=\angle CAD + \angle DAE$，又因为$\angle CAD$所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$，$\angle DAE$所对的弧是$\overset{\frown}{DE}$，所以$\angle CAE$所对的弧是$\overset{\frown}{CDE}$。
而$\angle BCD$所对的弧是$\overset{\frown}{BAD}$，五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，整个圆周角为$360^{\circ}$，$\overset{\frown}{BCD}$与$\overset{\frown}{BAD}$组成整个圆周，$\angle BCD$是$\overset{\frown}{BAD}$所对的圆周角，$\angle CAE$是$\overset{\frown}{CDE}$（$\overset{\frown}{BCD}$）所对的圆周角。
根据圆内接四边形对角互补的性质（可推广到圆内接多边形中角与弧的关系），$\angle BCD$与$\angle CAE$所对的弧之和为整个圆周，所以$\angle BCD+\angle CAE = 180^{\circ}$。
【答案】：
因为$BC = DE$，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，则$\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{CDE}$。
由圆周角定理可知$\angle CAE$所对弧为$\overset{\frown}{CDE}$，$\angle BCD$所对弧为$\overset{\frown}{BAD}$，且$\overset{\frown}{BCD}+\overset{\frown}{BAD}=360^{\circ}$。
根据圆周角与弧的关系，可得$\angle BCD+\angle CAE = 180^{\circ}$。

4. 如图,圆内接四边形 ABCD 的两组对边的延长线分别相交于点 E,F. 若$∠E= 30^{\circ }$,$∠F= 40^{\circ }$,则$∠A= $(D)

A. $25^{\circ }$
B. $30^{\circ }$
C. $40^{\circ }$
D. $55^{\circ }$

答案： D

5. [2023·襄阳中考]如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,点 E 在 CD 的延长线上. 若$∠ADE= 70^{\circ }$,则$∠AOC= $______140$^{\circ }$.

答案： 140

6. [一题多解题]如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 是弦,D 是$\overset{\frown }{AC}$上一点,P 是 AB 延长线上一点,连接 AD,DC,CP. 求证：$∠ADC-∠BAC= 90^{\circ }$.(请用两种方法解答)
证明：证法 1：连接 BD.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB = 90°.
∵∠ADC - ∠BDC = ∠ADB，∠BDC = ∠BAC，
∴∠ADC - ∠BAC = 90°.
证法 2：连接 BC.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB = 90°.
∵∠PBC = ∠BAC + ∠ACB，
∴∠PBC - ∠BAC = 90°.
∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°.
∵∠PBC + ∠ABC = 180°，
∴∠ADC = ∠PBC，
∴∠ADC - ∠BAC = 90°.

答案： 证明：证法 1：连接 BD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵∠ADC - ∠BDC = ∠ADB，∠BDC = ∠BAC，
∴∠ADC - ∠BAC = 90°.
证法 2：连接 BC.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵∠PBC = ∠BAC + ∠ACB，
∴∠PBC - ∠BAC = 90°.

∵四边形 $ABCD$ 为$\odot O$ 的内接四边形，

∴$\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$。

∵$\angle PBC+\angle ABC = 180^{\circ}$，

∴$\angle ADC=\angle PBC$，

∵$\angle ADC=\angle BAC = 90^{\circ}$