《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

9. [教材P91习题24.1第17题改编]如图,A,B是两座灯塔,在圆弧AMB内有暗礁,游艇C在附近海面游弋(点C在直线AB上方),且$∠AOB= 80^{\circ }$.要使游艇C不驶入暗礁区,则航行中应保持$∠ACB$ (A)

A. 小于$40^{\circ }$
B. 大于$40^{\circ }$
C. 小于$80^{\circ }$
D. 大于$80^{\circ }$

答案： A

10. [与T6互为孪生题]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连接OA,OC.若$∠D= 60^{\circ },OA= 2$,则四边形ABCO面积的最大值为 (B)

A. $\sqrt {3}$
B. $2\sqrt {3}$
C. $3\sqrt {3}$
D. 6

答案： B

11. 如图,AE是直径,点B,C,D在半圆上,若$∠B= 125^{\circ }$,则$∠D= $______$^{\circ }$.

145

答案： 145

12. [一题多解题]如图,$△ABC内接于\odot O$,$∠CAB= 30^{\circ },∠CBA= 45^{\circ },CD⊥AB$于点D,若$\odot O$的半径为2,则CD的长为______$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

13. 已知$\odot O$的半径为3,AB,AC是$\odot O$的两条弦,$AB= 3\sqrt {2},AC= 3$,则$∠BAC$的度数为$15^{\circ}$或$105^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$或$105^{\circ}$

14. 如图,在$△ABC$中,$CA= CB$,以BC为直径的半圆与AB交于点D,与AC交于点E,连接DE.求证:
(1)D为AB的中点;
证明：(1)连接CD.∵BC为直径，∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB.∵CA=CB,∴AD=BD，即D为AB的中点.
(2)$AD= DE$.
证明：(2)∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠DEC=180°.∵∠AED+∠DEC=180°,∴∠AED=∠B.∵CA=CB,∴∠A=∠B,∴∠A=∠AED,∴AD=DE.

答案： 证明：
(1)连接CD.
$\because BC$为直径，$\therefore \angle BDC=90^{\circ},\therefore CD\perp AB$.
$\because CA=CB$,
$\therefore AD=BD$，即D为AB的中点.
(2)$\because$四边形BCED为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore \angle B+\angle DEC=180^{\circ}$.
$\because \angle AED+\angle DEC=180^{\circ},\therefore \angle AED=\angle B$.
$\because CA=CB,\therefore \angle A=\angle B$,
$\therefore \angle A=\angle AED,\therefore AD=DE$.

15. [开放题]如图,AB是$\odot O$的直径,BC是$\odot O$的弦,$OD⊥BC$于点E,交$\widehat {BC}$于点D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论;①$BE=CE$；②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$；③$\angle BCA=90^{\circ}$
(2)设$∠CDB= α,∠ABC= β$,试写出α与β之间的等量关系式并给出证明.$\alpha -\beta =90^{\circ}$
证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle A+\angle ABC=90^{\circ}$.
又$\because$四边形ACDB为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore \angle A+\angle CDB=180^{\circ}$,
$\therefore 180^{\circ}-\angle CDB+\angle ABC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle CDB-\angle ABC=90^{\circ}$，即$\alpha -\beta =90^{\circ}$.

答案： 解：
(1)不同类型的正确结论不唯一，以下答案供参考：
①$BE=CE$；②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$；③$\angle BCA=90^{\circ}$；
④$\angle BOD=\angle A$；⑤$AC// OD$；⑥$\angle BOD=2\angle BCD$；⑦$OE^{2}+BE^{2}=OB^{2}$；⑧$S_{\triangle ABC}=BC\cdot OE$；⑨$\triangle BOD$是等腰三角形等.
(2)$\alpha$与$\beta$之间的等量关系式为$\alpha -\beta =90^{\circ}$.
证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle A+\angle ABC=90^{\circ}$.
又$\because$四边形ACDB为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore \angle A+\angle CDB=180^{\circ}$,
$\therefore 180^{\circ}-\angle CDB+\angle ABC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle CDB-\angle ABC=90^{\circ}$，即$\alpha -\beta =90^{\circ}$.