《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

11. [与T8互为孪生题]若一元二次方程 $ - x ^ { 2 } + b x - 5 = 0 $ 配方后为 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } = k $,则 $ b + k $ 的值为 (A)
A. 10
B. 11
C. -1
D. -2

答案： A

12. [2024·合肥四十五中期中]用配方法解下列方程时,配方错误的是 (C)
A. $ x ^ { 2 } - 8 x + 5 = 0 $ 化为 $ ( x - 4 ) ^ { 2 } = 11 $
B. $ x ^ { 2 } + 2 x - 99 = 0 $ 化为 $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 100 $
C. $ x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } x - 1 = 0 $ 化为 $ \left( x - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } = \frac { 8 } { 9 } $
D. $ 3 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0 $ 化为 $ \left( x - \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } = \frac { 10 } { 9 } $

答案： C

13. 若将方程 $ x ^ { 2 } - 8 x + 1 = 0 $ 配方成 $ ( x - p ) ^ { 2 } + q = 0 $ 的形式,则直线 $ y = p x + q $ 不经过第______象限.
[答案]：二
13. 若将方程 $ x ^ { 2 } - 8 x + 1 = 0 $ 配方成 $ ( x - p ) ^ { 2 } + q = 0 $ 的形式,则直线 $ y = p x + q $ 不经过第二象限.

答案： 二

14. 用配方法解一元二次方程:
(1) $ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 $；解：$x_{1}=2+\sqrt{10}$，$x_{2}=2-\sqrt{10}$
(2) $ 3 y ^ { 2 } - 6 y - 1 = 0 $；解：$y_{1}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$y_{2}=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案：
(1) 解：$x_{1}=2+\sqrt{10}$，$x_{2}=2-\sqrt{10}$。
(2) 解：$y_{1}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$y_{2}=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

15. 当 $ x $ 为何值时,代数式 $ 2 x ^ { 2 } - 8 x + 3 $ 有最小值,最小值是多少?
归纳总结
求多项式 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ ( $ a $,$ b $,$ c $ 为常数,且 $ a \neq 0 $ ) 的最值时,要先把多项式配方成 $ a ( x + h ) ^ { 2 } + k $ 的形式. 若 $ a ＞ 0 $,则代数式 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 有最小值 $ k $；若 $ a ＜ 0 $,则代数式 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 有最大值 $ k $.

答案： 解：$2x^{2}-8x+3=2(x^{2}-4x)+3=2(x^{2}-4x+4-4)+3=2(x-2)^{2}-5$。
$\because (x-2)^{2}\geq0$，
$\therefore$当$(x-2)^{2}=0$，即$x=2$时，代数式$2x^{2}-8x+3$有最小值，最小值为$-5$。

16. [材料阅读题]阅读下面解一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ ( $ a \neq 0 $ ) 的两种方法:
方法1: $ \because a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ ( $ a \neq 0 $ ),
$ \therefore x ^ { 2 } + \frac { b } { a } x + \frac { c } { a } = 0 $,
配方,得 $ \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } - 4 a c } { 4 a ^ { 2 } } $,
当 $ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $ 时,$ x + \frac { b } { 2 a } = \pm \sqrt { \frac { b ^ { 2 } - 4 a c } { 4 a ^ { 2 } } } $,
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { - b + \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $,
$ x _ { 2 } = \frac { - b - \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $.
方法2: $ \because a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ ( $ a \neq 0 $ ),
$ \therefore 4 a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 4 a b x + 4 a c = 0 $,
配方,得 $ ( 2 a x + b ) ^ { 2 } = b ^ { 2 } - 4 a c $,
当 $ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $ 时,$ 2 a x + b = \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } $,
$ 2 a x = - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } $,
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { - b + \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $,
$ x _ { 2 } = \frac { - b - \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $.
请回答下列问题:
(1) 你觉得两种方法有什么异同?
两种方法都是用配方法求解，第一种方法是方程两边同除以二次项系数$a$，再配方；第二种方法是方程两边同乘以$4a$，将二次项变成完全平方式，再配方。(言之有理即可)
(2) 请用题中的方法2解一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 6 x + 3 = 0 $.
方程两边同乘以2，得$4x^{2}-12x+6=0$，配方，得$(2x-3)^{2}=-6+9$，$\therefore 2x-3=\pm\sqrt{3}$，$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。

答案： 解：
(1) 两种方法都是用配方法求解，第一种方法是方程两边同除以二次项系数$a$，再配方；第二种方法是方程两边同乘以$4a$，将二次项变成完全平方式，再配方。(言之有理即可)
(2) 方程两边同乘以2，得$4x^{2}-12x+6=0$，
配方，得$(2x-3)^{2}=-6+9$，
$\therefore 2x-3=\pm\sqrt{3}$，$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。