《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

10. 若代数式$4x^{2}-2x-5与2x^{2}+1$的值互为相反数,则x的值为 (B)
A. 1或$-\frac {3}{2}$
B. 1或$-\frac {2}{3}$
C. -1或$\frac {2}{3}$
D. -1或$\frac {3}{2}$

答案： B

11. [与T7互为孪生题]若一元二次方程$x^{2}+bx+4= 0$的两个实数根中较小的一个根是m,则$b+\sqrt {b^{2}-16}$的值为 (D)
A. m
B. -m
C. 2m
D. -2m

答案： D

12. [基本思想—分类讨论思想]已知关于x的方程$(m^{2}-1)x^{2}+2(m-1)x+1= 0$有实数根,则m的取值范围是$m ＜ 1$.

答案： $m ＜ 1$

13. [2024·合肥蜀山区校级期末]若关于x的一元二次方程$x^{2}-ax+1= 0$的唯一实数根也是关于x的一元二次方程$(a-2)x^{2}+bx+1= 0$的根,则关于x的方程$(a-2)x^{2}+bx+1= 0$的根为$x_{1} = -1$，$x_{2} = \frac{1}{4}$.

答案： $x_{1} = -1$，$x_{2} = \frac{1}{4}$

14. 用公式法解下列方程:
(1)$2x^{2}-7x-4= 0;$
解：$x_{1}=$4，$x_{2}=$$-\frac{1}{2}$.
(2)$4x^{2}-1= 12x;$
解：$x_{1}=$$\frac{3 - \sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=$$\frac{3 + \sqrt{10}}{2}$.
(3)$(3x-1)(x+2)= 11x-4.$
解：$x_{1}=$$\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=$$\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

答案：
(1)解：$x_{1} = 4$，$x_{2} = -\frac{1}{2}$.
(2)解：$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$.
(3)解：$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

15. 已知a,b,c分别为$Rt△ABC$三边的长(其中c为斜边长),试判断关于x的一元二次方程$(c+a)x^{2}+2bx+(c-a)= 0$根的情况.

答案： 解：由题可知$\Delta = (2b)^{2} - 4(c + a)(c - a) = 4b^{2} - 4c^{2} + 4a^{2}$.
在$Rt\triangle ABC$中，$c^{2} = a^{2} + b^{2}$，
$\therefore \Delta = 4b^{2} - 4c^{2} + 4a^{2} = 4c^{2} - 4c^{2} = 0$，
∴该方程有两个相等的实数根.

16. 选做题:请在A,B两题中任选一题作答.
A. 已知关于x的方程$(k-1)x^{2}+kx+1= 0$,求证:不论k取任意实数,该方程总有实数根.
B. 已知关于x的方程$(k-1)x^{2}+kx+1= 0$,当k为何整数时,此方程有两个整数根?
我选做A题(填“A”或“B”),并写出完整的答题过程.
证明：当$k = 1$时，方程为$x + 1 = 0$，有实数根$x = 1$；
当$k ≠ 1$时，方程为一元二次方程，$\Delta = k^{2} - 4(k - 1) = (k - 2)^{2} \geq 0$，
∴一元二次方程有两个实数根.
综上所述，不论$k$取任意实数，该方程总有实数根.

答案： A. 证明：当$k = 1$时，方程为$x + 1 = 0$，有实数根$x = 1$；
当$k ≠ 1$时，方程为一元二次方程，$\Delta = k^{2} - 4(k - 1) = (k - 2)^{2} \geq 0$，
∴一元二次方程有两个实数根.
综上所述，不论$k$取任意实数，该方程总有实数根.
B. 解：$k = 0$或$k = 2$.