《2025年课时A计划九年级数学上册人教版》

1. 如图,P为$\odot O$外一点,PA,PB分别切$\odot O$于点A,B.若$∠AOB= 122^{\circ }$,则$∠APO=$(C)

A.$68^{\circ }$
B.$58^{\circ }$
C.$29^{\circ }$
D.$22^{\circ }$

答案： C

2. 如图,AB,AC,BD是$\odot O$的切线,切点分别为P,C,D.若$AB= 10,AC= 6$,则BD的长是(B)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B

3. [与T9互为孪生题]如图,PA,PB分别切$\odot O$于点A,B,MN切$\odot O$于点C,分别交PA,PB于点M,N.若$PA= 7.5cm$,则$\triangle PMN$的周长是______15cm.

答案： 15

4. [开放题]如图所示,PA,PB是$\odot O$的两条切线,A,B为切点,连接PO,交$\odot O$于点D,交AB于点C.根据以上条件,请写出三个你认为正确的结论,并对其中的一个结论给予证明.

结论一：$PA = PB$；结论二：$\angle APO=\angle BPO$；结论三：$AB\perp OP$。

答案： 【解析】：
- 结论一：$PA = PB$。根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
- 结论二：$\angle APO=\angle BPO$。同样由切线长定理可知，从圆外一点引圆的两条切线，这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
- 结论三：$AB\perp OP$。因为$PA = PB$，$\angle APO=\angle BPO$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合），可得$AB\perp OP$。
下面证明$PA = PB$：
连接$OA$，$OB$。
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，即$\angle OAP=\angle OBP = 90^{\circ}$。
又因为$OA = OB$（圆的半径相等），$OP = OP$（公共边），所以$Rt\triangle OAP\cong Rt\triangle OBP$（$HL$定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
所以$PA = PB$。
【答案】：
结论一：$PA = PB$；结论二：$\angle APO=\angle BPO$；结论三：$AB\perp OP$ 。

5. 如果$\odot O为\triangle ABC$的内切圆,那么O是$\triangle ABC$的(D)
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三边垂直平分线的交点
D. 三条角平分线的交点

答案： D

6. [2024·合肥瑶海区校级模拟]如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 70^{\circ },\odot O是\triangle ABC$的内切圆,M,N,K是切点,连接OA,OC,交$\odot O$于E,D两点,F是$\overset{\frown }{MN}$上的一点,连接DF,EF,则$∠EFD$的度数是______$ 62.5^{\circ} $.

答案： $ 62.5^{\circ} $

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 4,BC= 3$,点I为$\triangle ABC$的内心,$ID// AC,IE// BC$,则$\triangle IDE$的周长为______5.
!易错点 混淆三角形的内心与外心

答案： 5

8. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,点E是$\triangle ABC$的内心,AE的延长线交BC于点F,交$\odot O$于点D,连接BD,BE.求证:$DB= DE$.

答案： 证明：
∵点E是$ \triangle ABC $的内心，
∴AE平分$ \angle BAC $，BE平分$ \angle ABC $，
∴$ \angle BAD = \angle CAD $，$ \angle ABE = \angle CBE $。
由题知$ \angle CAD = \angle CBD $，
∴$ \angle BAD = \angle CBD $。
∵$ \angle BED = \angle ABE + \angle BAD $，$ \angle DBE = \angle CBE + \angle CBD $，
∴$ \angle BED = \angle DBE $，
∴$ DB = DE $。