《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

11 中考新考法 归纳一般结论 某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：$x$，$y$表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式$\frac{y}{x}$，$\frac{x}{y}$. 如果这两个正数的差等于它们的积，即$x - y = xy$，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=xy + 2$.
(1)写出两组符合条件$x - y = xy$的正数$x$，$y$的值；
(2)选(1)中的一组$x$，$y$的值，验证兴趣小组发现的结论$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=xy + 2$；
(3)在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论.

答案：
(1) $x = 1$，$y=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{4}$. (答案不唯一)
(2) 当$x = 1$，$y=\frac{1}{2}$时，
$x - y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=1\times\frac{1}{2}=xy$.
$\because\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{1}{2}+2=2\frac{1}{2}$，$xy=\frac{1}{2}$，
$\therefore\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=xy + 2$，即$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$比$xy$大2.
(3) $\because x - y=xy$，$\therefore\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-xy=\frac{y^{2}+x^{2}-(xy)^{2}}{xy}=\frac{x^{2}+y^{2}-(x - y)^{2}}{xy}=2$，
$\therefore$当$x - y=xy$时，$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$比$xy$大2.

12 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读材料题：
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k(k\neq0)$，
则$a = 3k$，$b = 4k$，$c = 5k$，①
所以$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}=\frac{6k + 12k - 5k}{3k - 4k + 10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$.②
(1)上述解题过程中，第①步运用了________的基本性质；
第②步中，由$\frac{13k}{9k}$求得结果$\frac{13}{9}$运用了________的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$，求分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值.

答案：
(1) 等式 分式
(2) 设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=m(m\neq0)$，
则$x = 2m$，$y = 3m$，$z = 6m$，
所以$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}=\frac{2m + 6m - 6m}{2m - 6m + 18m}=\frac{2m}{14m}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$，
所以分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值为$\frac{1}{7}$.

13 (1)仔细观察图形，利用面积关系写出一个等式：$a^{2}+b^{2}=$________；
(2)根据(1)中的等式关系解决问题：已知$m + n = 4$，$mn = - 2$，求$m^{2}+n^{2}$的值；
(3)小明根据(1)中的关系式还解决了以下问题：
“已知$m+\frac{1}{m}=3$，求$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$和$m^{3}+\frac{1}{m^{3}}$的值.”
小明的解法：
$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m+\frac{1}{m})^{2}-2=3^{2}-2=7$.
$\because(m+\frac{1}{m})(m^{2}+\frac{1}{m^{2}})=m^{3}+\frac{1}{m^{3}}+m+\frac{1}{m}$，
$\therefore m^{3}+\frac{1}{m^{3}}=(m+\frac{1}{m})(m^{2}+\frac{1}{m^{2}})-(m+\frac{1}{m})=3\times7 - 3=18$.
请你仔细理解小明的解法，继续完成：求$m^{5}+m^{-5}$的值.

答案：
(1) $(a + b)^{2}-2ab$
(2) $m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=4^{2}-2\times(-2)=20$.
(3) $m^{5}+m^{-5}=(m^{2}+m^{-2})(m^{3}+m^{-3})-(m + m^{-1})=7\times18 - 3 = 123$.