《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

1 教材P102随堂练习T1·改编 下列各式中，不能用完全平方公式分解的有( )．
①$x^{2}-10x + 25$；②$4a^{2}+4a - 1$；③$x^{2}-2x - 1$；④$-m^{2}+m-\frac{1}{4}$；⑤$4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

2 教材P103习题T2·变式 将多项式$(x^{2}-1)^{2}+6(1 - x^{2})+9$因式分解，正确的是( )．
A. $(x - 2)^{4}$
B. $(x^{2}-2)^{2}$
C. $(x^{2}-4)^{2}$
D. $(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$

答案： D

3 教材P103习题T2·变式 运用公式法因式分解：
(1)$a^{3}-4a^{2}+4a$；
(2)$9(a - b)^{2}+6(a - b)+1$；
(3)$\frac{1}{2}(x^{2}-2y^{2})^{2}-2(x^{2}-2y^{2})y^{2}+2y^{4}$．

答案：
(1)$a^{3}-4a^{2}+4a=a(a^{2}-4a + 4)=a(a - 2)^{2}$.
(2)$9(a - b)^{2}+6(a - b)+1$
$=[3(a - b)]^{2}+2×3(a - b)×1 + 1^{2}$
$=[3(a - b)+1]^{2}=(3a - 3b + 1)^{2}$.
(3)$\frac{1}{2}(x^{2}-2y^{2})^{2}-2(x^{2}-2y^{2})y^{2}+2y^{4}$
$=\frac{1}{2}[(x^{2}-2y^{2})^{2}-4(x^{2}-2y^{2})y^{2}+4y^{4}]$
$=\frac{1}{2}[(x^{2}-2y^{2})^{2}-2(x^{2}-2y^{2})(2y^{2})+(2y^{2})^{2}]$
$=\frac{1}{2}(x^{2}-2y^{2}-2y^{2})^{2}$
$=\frac{1}{2}(x^{2}-4y^{2})^{2}$
$=\frac{1}{2}[(x + 2y)(x - 2y)]^{2}$
$=\frac{1}{2}(x + 2y)^{2}(x - 2y)^{2}$.

4 (2024·广西中考)如果$a + b = 3$，$ab = 1$，那么$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为( )．
A. 0
B. 1
C. 4
D. 9

答案： D

5 教材P104复习题T6·变式 (2024·福建中考)已知实数$a$，$b$，$c$，$m$，$n$满足$3m + n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$．求证：$b^{2}-12ac$为非负数．

答案： 因为$3m + n=\frac{b}{a},mn=\frac{c}{a}$，
所以$b = a(3m + n),c = amn$.
则$b^{2}-12ac=[a(3m + n)]^{2}-12a^{2}mn$
$=a^{2}(9m^{2}+6mn + n^{2})-12a^{2}mn$
$=a^{2}(9m^{2}-6mn + n^{2})$
$=a^{2}(3m - n)^{2}$.
因为$a,m,n$是实数，所以$a^{2}(3m - n)^{2}\geq0$，
所以$b^{2}-12ac$为非负数.

6 教材P105复习题T12·变式 已知$a$，$b$，$c$分别是$\triangle ABC$的三边长，试比较$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}$与$4a^{2}b^{2}$的大小．

答案： $\because(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$
$=(a^{2}-2ab + b^{2}-c^{2})(a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2})$
$=(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)$，
又三角形任意两边之和大于第三边，
$\therefore a - b - c\lt0,a - b + c\gt0,a + b - c\gt0,a + b + c\gt0$，
$\therefore(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}\lt0$，
$\therefore(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\lt4a^{2}b^{2}$.

7 中考新考法 满足条件的结论开放 已知一个多项式，它的中间项是$12xy$，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？(要求写出两种不同的方法)
多项式：+12xy+=( )$^{2}$．

答案： $x^{2}+12xy + 36y^{2}=(x + 6y)^{2}$或$4x^{2}+12xy + 9y^{2}=(2x + 3y)^{2}$或$9x^{2}+12xy + 4y^{2}=(3x + 2y)^{2}$或$36x^{2}+12xy + y^{2}=(6x + y)^{2}$. (答案不唯一，写出两种即可)