《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

8. 先化简，再求值：$(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 1}$，其中$x$是方程$\frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{5} = 0$的解.

答案： 原式$=\frac{x^{2}-1 - 3}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$
$=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^{2}}=\frac{x - 2}{x + 2}$
解方程$\frac{x - 1}{2}-\frac{x - 2}{5}=0$，得$x=\frac{1}{3}$
当$x=\frac{1}{3}$时，原式$=\frac{\frac{1}{3}-2}{\frac{1}{3}+2}=-\frac{5}{7}$

9. 先化简，再求值：$\frac{a^{2} - 6ab + 9b^{2}}{a^{2} - 2ab} \div (\frac{5b^{2}}{a - 2b} - a - 2b) - \frac{1}{a}$，其中$a$，$b$满足方程组$\begin{cases}a + b = 8\\a - b = 1\end{cases}$.

答案： 原式$=\frac{(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}\div\frac{9b^{2}-a^{2}}{a - 2b}-\frac{1}{a}=\frac{(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}\cdot\frac{a - 2b}{(3b + a)(3b - a)}-\frac{1}{a}=\frac{3b - a}{a(3b + a)}-\frac{1}{a}=-\frac{2}{3b + a}$
$\because\begin{cases}a + b = 8\\a - b = 1\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}a=\frac{9}{2}\\b=\frac{7}{2}\end{cases}$
$\therefore a + 3b = 15$，$\therefore$原式$=-\frac{2}{15}$

10. 先化简：$(\frac{x^{2} + 2x + 1}{x^{2} - 1} + \frac{x + 1}{x - 1}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - x}$，再从不等式组$\begin{cases}2 - x ＜ 4,①\\2(x - 3) \leq -2②\end{cases}$的解集中选一个合适的整数$x$的值代入求值.

答案： $\begin{cases}2 - x\lt4,①\\2(x - 3)\leq - 2,②\end{cases}$
由①，得$x\gt - 2$，由②，得$x\leq2$，
$\therefore$该不等式组的解集为$-2\lt x\leq2$，
$\therefore$其整数解为$-1,0,1,2$
原式$=[\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x + 1}{x - 1}]\cdot\frac{x(x - 1)}{x + 1}$
$=(\frac{x + 1}{x - 1}+\frac{x + 1}{x - 1})\cdot\frac{x(x - 1)}{x + 1}$
$=\frac{2(x + 1)}{x - 1}\cdot\frac{x(x - 1)}{x + 1}=2x$
$\because x^{2}-1\neq0,x + 1\neq0,x^{2}-x\neq0$，
$\therefore x\neq0,x\neq\pm1$，$\therefore$当$x = 2$时，原式$=2\times2 = 4$

11. 已知$W = \frac{1}{a - 2} \div \frac{a + 2}{a^{2} - 4a + 4} + \frac{1}{a + 2}$.
(1)化简$W$；
(2)若$a$，$2$，$4$恰好是等腰三角形$ABC$的三边长，求$W$的值.

答案：
(1)$W=\frac{1}{a - 2}\div\frac{a + 2}{a^{2}-4a + 4}+\frac{1}{a + 2}=\frac{1}{a - 2}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}=\frac{a - 2}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}=\frac{a - 1}{a + 2}$
(2)$\because a,2,4$恰好是等腰三角形$ABC$的三边长，
$\therefore$当$a = 2$时，$2 + 2 = 4$，不能构成三角形；
当$a = 4$时，符合题意，
$\therefore$原式$=\frac{4 - 1}{4 + 2}=\frac{1}{2}$