《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点. 求证：DG⊥EF.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 连接$DE$，$DF$.
$\because AB = AC,\therefore \angle B = \angle C.$
在$\triangle BDE$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}BE = CD, \\\angle B = \angle C, \\BD = CF,\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE\cong\triangle CFD,\therefore DE = FD.$
$\because G$是$EF$的中点，$\therefore DG\perp EF.$

2.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M. 求证：M是BE的中点.

答案： 连接$BD$.
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ},\angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}.$
$\because CE = CD,\therefore \angle CDE = \angle E.$
$\because \angle ACB = \angle CDE + \angle E,\therefore \angle E = \frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ},\therefore \angle DBC = \angle E,\therefore BD = ED.$
又$DM\perp BC$，$\therefore M$是$BE$的中点.

3 如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=18：7：11，D是BC的中点，且DE⊥BC于点D，交AB于E，求证：BE² - AE² = AC².
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
$\because \angle A:\angle B:\angle C = 18:7:11,$
$\therefore$设$\angle A = 18x^{\circ},\angle B = 7x^{\circ},\angle C = 11x^{\circ}.$
$\therefore 18x + 7x + 11x = 180$，解得$x = 5,$
$\therefore \angle A = 90^{\circ},\therefore \triangle ABC$是直角三角形.
连接$CE$，如图所示.

$\because D$是$BC$的中点，$DE\perp BC$，$\therefore BE = CE.$
在$Rt\triangle ACE$中，$CE^{2}-AE^{2}=AC^{2},$
$\therefore BE^{2}-AE^{2}=AC^{2}.$

4 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于点F. 求证：DF=EF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
如图，过点$D$作$DM// AC$交$BC$于点$M$.
$\therefore \angle DMB = \angle ACB,\angle FDM = \angle E.$
$\because AB = AC,\therefore \angle B = \angle ACB,$

$\therefore \angle B = \angle DMB,\therefore BD = MD.$
$\because BD = CE,\therefore MD = CE.$
在$\triangle DMF$和$\triangle ECF$中，$\begin{cases}\angle DFM = \angle EFC, \\\angle FDM = \angle E, \\MD = CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle DMF\cong\triangle ECF,\therefore DF = EF.$