《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9 中考新考法 新定义问题 (2024·浙江宁波北仑区期末)定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC是三倍三角形，且其中一边长为3，则△ABC的周长为________．

答案： 12或8 [解析]如果底边长是3，若两腰的和是3的三倍，即为9，满足三角形三边关系定理，则△ABC的周长是9 + 3=12；若腰与底边的和是腰长的三倍，则腰长是1.5，不满足三角形三边关系定理. 如果腰长是3，若两腰的和是底边的三倍，则底边长是2，满足三角形三边关系定理，则△ABC的周长是3 + 3 + 2=8；若腰与底边的和是腰长的三倍，求出底边长是6，不满足三角形三边关系定理.
∴△ABC的周长为12或8.

10 如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…．
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．

答案： 9

11 如图，AM//BN，∠BCM和∠CBN的平分线交于点D，DE//BN交BC于点E. (解答过程要求写出每步推导的理由)
(1)求∠BDC的度数；
(2)若AB＝AC，求证：AE⊥BC.

答案：
(1)
∵BN//AM(已知)，
∴∠CBN + ∠BCM=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵BD,CD 分别是∠CBN,∠BCM 的平分线(已知)，
∴∠NBD=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠NBC，∠ECD=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠BCM(角平分线的定义)，
∴∠DBC + ∠ECD=$\frac{1}{2}$(∠NBC + ∠BCM)=90°(等式的性质)，
∴∠BDC=180° - (∠DBC + ∠ECD)=90°(三角形内角和定理).
(2)
∵DE//BN(已知)，
∴∠NBD=∠BDE(两直线平行，内错角相等).
∵∠NBD=∠DBE(已证)，
∴∠BDE=∠DBE(等量代换)，
∴EB=ED(等角对等边).
∵AM//BN(已知)，
∴DE//AM(平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠EDC=∠DCM(两直线平行，内错角相等).
∵∠DCM=∠ECD(已证)，
∴∠EDC=∠ECD(等量代换)，
∴EC=ED(等角对等边)，
∴EB=EC(等量代换).
∵AB=AC(已知)，
∴AE⊥BC(等腰三角形的三线合一).

12 中考新考法 归纳一般结论 (1)如图(1)，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF//BC，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有________个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是________________，△AEF的周长是________．
(2)如图(2)，若将(1)中“在△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有几个等腰三角形？EF与BE，CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长.
(3)已知：如图(3)，点D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE//BC，分别交AB，AC于E，F两点，则EF与BE，CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论.

答案：
(1)5 BE + CF=EF 20
(2)图中有2个等腰三角形，BE + CF=EF，△AEF的周长为18. 证明如下：
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE,CF=DF，
∴等腰三角形有△BDE,△CFD，BE + CF=DE + DF=EF，即BE + CF=EF.可得△AEF的周长为18.
(3)BE - CF=EF.