《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

5 中考新考法 满足结论的条件开放 有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB = ∠DCE = 90°．将两个直角三角板ABC和CDE按如图(1)放置，点A，C，E在直线MN上.
(1)三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周.
①在旋转过程中，若∠BCD = 30°，则∠ACE =________．
②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图(2)说明理由.
(2)在图(1)基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为10度/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为1度/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动. 若设旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当t =________秒时，有∠ACE = 3∠BCD.
　　

答案： 5.
(1)①150°
②∠BCD + ∠ACE = 180°.理由如下：
∵∠ACE = ∠ACB + ∠BCE，
∴∠BCD + ∠ACE = ∠BCD + ∠ACB + ∠BCE = ∠ACB + ∠DCE = 90° + 90° = 180°.
(2)5或35 [解析]在三角板ABC的边AC和CDE的边CE重合之前，∠ACE = 180° - 9°t，∠BCD = 9°t.
由题意，得180 - 9t = 3×9t，解得t = 5；
三角板ABC的边AC和三角形CDE的边CE重合之后，
∠ACE = 9°t - 180°，∠BCD = 360° - 9°t.
由题意，得9t - 180 = 3×(360 - 9t)，解得t = 35.
故当t为5或35秒时，有∠ACE = 3∠BCD.

6 如图，将长方形ABCD绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到长方形AB'C'D'，已知∠1 = 120°，则旋转角α的度数为(　　　)．
　　　　　　　　
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°

答案： 6. D

7 如图，点F是长方形ABCD内一点，点E在边BC上，连接AF，EF. 将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到AP，连接PE. 若AB = 8，BC = 6，BE=$\frac{1}{2}CE$，EF = 4，则线段PE的最小值为________．
　　　　　　

答案：
7. $2\sqrt{34}-4$ [解析]如图，连接AE并将AE绕点A顺时针旋转90°得到AE'，连接PE'，EE'.
由旋转的性质可知AE' = AE，AP = AF，∠E'AE = ∠PAF = 90°，
∴∠E'AP = ∠EAF，
∴△APE'≌△AFE(SAS)，
∴E'P = EF = 4.
∵E'P + EP≥E'E，
∴当点P在E'E上时，线段PE取最小值.
∵BC = 6，$BE=\frac{1}{2}CE$，
∴$BE=\frac{1}{3}BC = 2$.
∵在长方形ABCD中，∠ABE = 90°，
∴$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{8^{2}+2^{2}}=2\sqrt{17}$.
在Rt△E'AE中，$E'E=\sqrt{AE^{2}+AE'^{2}}=2\sqrt{34}$，
∴$EP≥E'E - E'P=2\sqrt{34}-4$.
故当点P在E'E上时，线段PE取最小值，最小值为$2\sqrt{34}-4$.

8 如图，在长方形ABCD中，将直角三角形ADC绕点A按顺时针方向旋转得到△AFE，点F恰好落在对角线AC上，FE交BC于点P，AE交BC于点Q，∠DAC = 30°. 求证：△PQE是等边三角形.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 8.
∵四边形ABCD为长方形，
∴∠DAB = ∠D = ∠B = 90°.
∵△AFE是△ADC绕点A按顺时针方向旋转得到，点F在AC上，
∴旋转角为∠DAC = 30°，∠AFE = ∠D = 90°，
∴∠FAE = ∠DAC = 30°.
在Rt△AFE中，∠FAE = 30°，∠AFE = 90°，
∴∠E = 60°.
∵∠DAB = 90°，∠FAE = ∠DAC = 30°，
∴∠QAB = 30°.
∵∠B = 90°，
∴∠AQB = 60°，
∴∠PQE = ∠AQB = ∠E = 60°，
∴△PQE是等边三角形.