《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

8 (2025·四川内江开学)如果$a$，$b$，$c$是三角形的三边长，那么代数式$a^{2}-2ab - c^{2}+b^{2}$的值是( )．
A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 非负数

答案： B

9 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2024·福建泉州期末)把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、因式分解、最值问题等中都有着广泛的应用．
例1. 用配方法因式分解：$a^{2}+2a - 8$；
原式$=a^{2}+2a + 1^{2}-1^{2}-8=(a + 1)^{2}-9=(a + 1 + 3)(a + 1 - 3)=(a + 4)(a - 2)$．
例2. 若$M=a^{2}-2ab + 2b^{2}-2b + 2$，利用配方法求$M$的最小值．
$a^{2}-2ab + 2b^{2}-2b + 2=a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2b + 1 + 1=(a - b)^{2}+(b - 1)^{2}+1$．
$\because(a - b)^{2}\geq0$，$(b - 1)^{2}\geq0$，
$\therefore$当$a = b = 1$时，$M$有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)若$M=a^{2}-4a + 2$，则$M$的最小值为________；
(2)用配方法因式分解：$a^{2}-6a + 8$；
(3)已知$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2ab + 4b - 6c + 13 = 0$，求$a + b + c$的值．

答案：
(1)$-2$ [解析]$M = a^{2}-4a + 2=a^{2}-4a + 2^{2}+2 - 2^{2}=(a - 2)^{2}-2$.
$\because(a - 2)^{2}\geq0$，
$\therefore$当$a = 2$时，$M$有最小值，最小值为$-2$.
(2)$a^{2}-6a + 8=a^{2}-6a + 3^{2}+8 - 3^{2}$
$=(a - 3)^{2}-1^{2}=(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)$
$=(a - 2)(a - 4)$.
(3)$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2ab + 4b - 6c + 13 = 0$，
$\therefore(a - b)^{2}+(b + 2)^{2}+(c - 3)^{2}=0$.
$\because(a - b)^{2}\geq0,(b + 2)^{2}\geq0,(c - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore a = b=-2,c = 3$，
$\therefore a + b + c=-2 - 2 + 3=-1$.

10 中考新考法 解题方法型阅读理解题 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程．
解：设$x^{2}-4x = y$，
原式$=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$．(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( )．
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将$y$用所设中的$x$的代数式代换，这个结果是否分解到了最后？________．(填“是”或“否”)如果否，直接写出最后的结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)\cdot(x^{2}-2x + 2)+1$进行因式分解．

答案：
(1)C
(2)否 $(x - 2)^{4}$
(3)设$x^{2}-2x = y$，
原式$=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}-2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$.