《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

15 新情境 托球赛跑 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过点P跑回到起跑线(如图所示)。途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜。结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒。”乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。”根据图文信息，请问哪位同学获胜？

答案： 设乙同学的速度为$x$米/秒，则甲同学的速度为$1.2x$米/秒.
根据题意，得$(\frac{60}{1.2x}+6)+\frac{60}{x}=50$，解得$x = 2.5$.
经检验，$x = 2.5$是所列方程的解，且符合题意.
$\therefore$甲同学所用的时间为$\frac{60}{1.2\times2.5}+6 = 26$（秒），乙同学所用的时间为$\frac{60}{2.5}=24$（秒）. $\because26＞24$，$\therefore$乙同学获胜.

16 新情境 数学与生活融合 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4 000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求。商场又用8 800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批的2倍，但每件的进价贵了4元。
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按7折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80％(不考虑其他因素)，那么每件T恤衫的标价至少是多少元？

答案：
(1)设该商场购进第一批$T$恤衫每件的进价是$x$元，则购进第二批$T$恤衫每件的进价为$(x + 4)$元.
根据题意，得$2\times\frac{4000}{x}=\frac{8800}{x + 4}$，解得$x = 40$，
经检验，$x = 40$是原分式方程的解，且符合题意，
$\therefore x + 4 = 40 + 4 = 44$（元）.
故该商场购进第一批、第二批$T$恤衫每件的进价分别是$40$元和$44$元.
(2)$\frac{4000}{40}+\frac{8800}{44}=300$（件）.
设每件$T$恤衫的标价是$y$元，根据题意，得
$(300 - 40)y+40\times0.7y\geqslant(4000 + 8800)\times(1 + 80\%)$，
解得$y\geqslant80$. 故每件$T$恤衫的标价至少是$80$元.

17 新情境 数学与生活融合 某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6 000元，购买B款书包共花费3 200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元。
(1)购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？
(2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2 268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8％，B款书包按第一次购买时销售单价的9折出售。此次A款书包有几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案。

答案：
(1)设购买一个$A$款书包需要$x$元，则购买一个$B$款书包需要$(x + 30)$元，依题意，得$\frac{6000}{x}=3\times\frac{3200}{x + 30}$，
解得$x = 50$，经检验，$x = 50$是原方程的解，且符合题意，$\therefore x + 30 = 50 + 30 = 80$（元）.
故购买一个$A$款书包需要$50$元，购买一个$B$款书包需要$80$元.
(2)设购买$m$个$B$款书包，
则购买$\frac{2268 - 80\times0.9m}{50\times(1 + 8\%)}=(42-\frac{4}{3}m)$个$A$款书包，
依题意，得$\begin{cases}m\geqslant14\\42-\frac{4}{3}m\geqslant14\end{cases}$，解得$14\leqslant m\leqslant21$.
又$(42-\frac{4}{3}m)$为整数，$\therefore m$为$3$的倍数，$\therefore m$可以取$15$，$18$，$21$，$\therefore$此次$A$款书包有$3$种购买方案.
(3)依题意，得$80\times(1 - 0.9)m-50\times8\%\times(42-\frac{4}{3}m)=72$，解得$m = 18$，
$\therefore42-\frac{4}{3}m=42-\frac{4}{3}\times18 = 18$（个）.
故购买$18$个$A$款书包，$18$个$B$款书包.