《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

10 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF//BE，交DE的延长线于点F，若EF =3，则DE的长为__________．
　

答案： $\frac{3}{2}$

11 (2023·株洲中考)如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)DG⊥BH，BD =3，EF =2，求线段BG的长度.
　

答案：
(1)
∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，GF//BC，GF = $\frac{1}{2}$BC.
∴DE//GF，DE = GF.
∴四边形DEFG为平行四边形.
(2)
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG = EF = 2.
∵DG⊥BH，
∴∠DGB = 90°.
∴BG = $\sqrt{BD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$.
故线段BG的长度为$\sqrt{5}$.

12 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读理解：
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
如图(1)，在梯形ABCD中，AD//BC.
∵E，F是AB，CD的中点，
∴EF//AD//BC，EF = $\frac{1}{2}$(AD + BC).
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
如图(2)，在△ABC中，
∵E是AB的中点，EF//BC，
∴F是AC的中点.
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.
如图(3)，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD于点O，E，F分别为AB，CD的中点，∠DBC =30°.
(1)求证：EF = AC；
(2)若OD =3$\sqrt{3}$，OC =5，求MN的长.
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠ADO = ∠DBC = 30°.
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA = $\frac{1}{2}$AD，OC = $\frac{1}{2}$BC.
∴AC = OA + OC = $\frac{1}{2}$(AD + BC).
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EF = $\frac{1}{2}$(AD + BC)，
∴AC = EF.
(2)
∵AD//BC，
∴∠ADO = ∠DBC = 30°.
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA = $\frac{1}{2}$AD，OC = $\frac{1}{2}$BC.
∵OD = 3$\sqrt{3}$，OC = 5，
∴AD = 6，CB = 10.
∴EF = $\frac{1}{2}$(AD + BC) = 8.
∵在△ABD和△AOD中，E，F分别是AB，CD的中点，EF//AD，
∴M，N分别是BD，AC的中点.
∴EM = $\frac{1}{2}$AD = 3，FN = $\frac{1}{2}$AD = 3.
∴MN = EF - EM - FN = 2.