《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

14 一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
(1)设有$x$间宿舍，写出$x$应满足的不等式组。
(2)可能有多少间宿舍、多少名女生？

答案：
(1)设有$x$间宿舍，则有$(4x + 19)$名女生.
根据题意，得$\begin{cases}6x ＞ 4x + 19 \\ 6(x - 1) ＜ 4x + 19 \end{cases}$.
(2)解不等式组，得$9.5 ＜ x ＜ 12.5$.
因为$x$是整数，所以$x$为10，11，12.
所以有三种可能:第一种，有10间宿舍，59名女生;第二种，有11间宿舍，63名女生;第三种，有12间宿舍，67名女生.

15 某体育商店购进一批甲、乙两种足球，已知3个甲种足球的进价与2个乙种足球的进价的和为142元，2个甲种足球的进价与4个乙种足球的进价的和为164元。
(1)求每个甲、乙两种足球的进价；
(2)如果购进甲种足球超过10个，超出部分可以享受7折优惠。商场决定在甲、乙两种足球中选购其中一种，且数量超过10个，试帮助体育商场判断购进哪种足球省钱。

答案：
(1)设甲种足球的进价是$x$元/个，乙种足球的进价是$y$元/个.
由题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 142 \\ 2x + 4y = 164 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 30 \\ y = 26 \end{cases}$.
故甲种足球的进价是30元/个，乙种足球的进价是26元/个.
(2)设购进足球$z$个（$z ＞ 10$），则乙种足球消费为$26z$元，甲种足球消费$[10\times30 + (z - 10)\times30\times0.7]$元，
①$26z = 10\times30 + (z - 10)\times30\times0.7$，解得$z = 18$.所以当购进足球正好18个时，选购其中一种即可;
②$26z ＞ 10\times30 + (z - 10)\times30\times0.7$，解得$z ＞ 18$.所以当购进足球超过18个时，选购甲种足球省钱;
③$26z ＜ 10\times30 + (z - 10)\times30\times0.7$，解得$z ＜ 18$.所以当购进足球少于18个，多于10个时，选购乙种足球省钱.

16 中考新考法 新定义问题 定义：对于实数$a$，符号$[a]$表示不大于$a$的最大整数。如：$[5.7]=5$，$[5]=5$，$[-\pi]= - 4$。
(1)若$[a]= - 2$，求$a$的取值范围；
(2)若$[\frac{x + 1}{2}]=3$，求满足条件的所有正整数$x$。

答案：
(1)$\because [a]= - 2$，$\therefore a$的取值范围是$-2 \leqslant a ＜ -1$.
(2)根据题意，得$3 \leqslant \frac{x + 1}{2} ＜ 4$，解得$5 \leqslant x ＜ 7$，
$\therefore$满足条件的所有正整数为5，6.

17 新情境 数学与生活融合 基金会计划购买$A,B$两种纪念册共50册，已知$B$种纪念册的单价比$A$种的单价少10元，买3册$A$种纪念册与买4册$B$种纪念册的总费用310元。
(1)求$A,B$两种纪念册的单价分别是多少元？
(2)如果购买的$A$种纪念册的数量要大于$B$种纪念册数量的$\frac{2}{5}$，但又不大于$B$种纪念册数量的$\frac{3}{5}$，设购买$A$种纪念册$m$册。
①有多少种不同的购买方案？
②购买时$A$种纪念册每册降价$a$元$(12\leqslant a\leqslant15)$，$B$种纪念册每册降价$b$元。若满足条件的购买方案所需的总费用一样，求总费用的最小值。

答案：
(1)设$A$种纪念册的单价为$x$元，$B$种纪念册的单价为$y$元.
依题意，得$\begin{cases}x - y = 10 \\ 3x + 4y = 310 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 50 \\ y = 40 \end{cases}$.
故$A$种纪念册的单价为50元，$B$种纪念册的单价为40元.
(2)①设购买$A$种纪念册$m$册，则购买$B$种纪念册$(50 - m)$册.
依题意，得$\begin{cases}m ＞ \frac{2}{5}(50 - m) \\ m \leqslant \frac{3}{5}(50 - m) \end{cases}$，解得$\frac{100}{7} ＜ m \leqslant \frac{75}{4}$.
又$m$为正整数，$\therefore m$可取15，16，17，18，$\therefore$共有4种不同的购买方案.
②设总费用为$w$元，则$w=(50 - a)m+(40 - b)\cdot(50 - m)=(10 - a + b)m + 2000 - 50b$.
$\because$满足条件的购买方案所需的总费用一样，
$\therefore 10 - a + b = 0$，$w = 2000 - 50b$，$\therefore b = a - 10$.
$\because 12 \leqslant a \leqslant 15$，$\therefore 2 \leqslant b \leqslant 5$.$\because - 50 ＜ 0$，$\therefore w$随$b$的增大而减小，
$\therefore$当$b = 5$时，$w$取得最小值，最小值$=2000 - 50\times5 = 1750$，
即总费用的最小值为1750元.