《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9 (2024·福建三明期中)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )．
A. 没有内角大于60°
B. 有一个内角大于60°
C. 有两个内角大于60°
D. 三个内角都大于60°

答案： D

10 如图，△PAB与△PDC是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD//BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数是( )．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

11 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF等于( )．

A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 不确定

答案： B

12 (2024·山东德州育英学校期中)如图，D是等边三角形ABC外一点.若BD=8，CD=6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为________．

答案：
12　[解析]如图，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE,
∵CE = CD,CB = CA,
∠ECD = ∠BCA = 60°,
∴∠ECB = ∠DCA,

∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE = AD.
∵DE = CD = 6,BD = 8,
∴8 - 6≤BE≤8 + 6,
∴2≤BE≤14,
∴2≤AD≤14,
∴AD的最大值与最小值的差为12.

13 (2025·吉林长春二道区期中)如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点，连接MN，PC，则下列四个结论：①∠BMC = ∠BMA；②∠APB=60°；③AN = BM；④PC平分∠BPD.其中，正确的是_______(只填写序号)．

答案： ②③④

14 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，过点M作MH⊥AC于点H.
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

答案：

(1)如图，过点M作MQ//BC,交AC于点Q.

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠ACB = 60°.
∵MQ//BC,
∴∠AMQ = ∠B = 60°,∠AQM = ∠ACB = 60°,∠QMP = ∠N,
∴∠A = ∠AMQ = ∠AQM = 60°,
∴△AMQ是等边三角形,
∴AM = QM.
∵AM = CN,
∴QM = CN.
在△QMP和△CNP中，{∠QPM = ∠CPN,∠QMP = ∠N,QM = CN}
∴△QMP≌△CNP(AAS),
∴MP = NP.
(2)
∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH = HQ.
∵△QMP≌△CNP,
∴QP = CP,
∴PH = HQ + QP = $\frac{1}{2}$AC.
∵△ABC为等边三角形，
∴AC = AB = a,
∴PH = $\frac{1}{2}$a.
解后反思 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等，综合运用相关知识是解题的关键.

15 中考新考法 改变条件探究 (2024·广东广州白云区桃园中学月考)在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点O、点P分别在射线AD，BA上运动，且保证∠OCP = 60°，连接OP.
(1)当点O运动到点D时，如图(1)，求AP的长度.
(2)当点O运动到点D时，如图(1)，试判断△OPC的形状并证明.
(3)当点O在射线AD上的其他地方运动时，△OPC还满足(2)的结论吗？请用图(2)说明理由.

答案：

(1)
∵AB = AC = 4,∠BAC = 120°,
∴∠B = ∠ACB = 30°.
∵∠OCP = 60°,
∴∠ACP = 30°.
∵∠CAP = 180° - ∠BAC = 60°,
又AD⊥BC,AB = AC,
∴∠DAC = ∠BAD = 60°.
在△ACD与△ACP中，{∠PAC = ∠DAC,AC = AC,∠ACD = ∠ACP}
∴△ACD≌△ACP(ASA),
∴AD = AP.
∵AC = 4,∠ACD = 30°,
∴AD = $\frac{1}{2}$AC = 2,
∴AP = 2.
(2)△OPC是等边三角形.证明如下:
∵△ACD≌△ACP,
∴DC = CP = OC.
∵∠OCP = 60°,
∴△OPC是等边三角形.
(3)△OPC还满足
(2)的结论.理由如下:如图，过点C 作CE⊥AP于点E,

∵∠CAD = ∠EAC = 60°,AD⊥CD,
∴CD = CE,
∴∠DCE = 360° - 90° - 90° - 2×60° = 60° = ∠OCP,
∴∠OCD = ∠PCE.
在△OCD与△PCE中，{∠ODC = ∠PEC = 90°,CD = CE,∠OCD = ∠PCE}
∴△OCD≌△PCE(ASA),
∴OC = PC,
∴△OPC是等边三角形.