《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

6 解不等式组：$\begin{cases}3x \leq 2x + 1,①\\\frac{x - 1}{2} - x ＜ 1,②\end{cases}$并把不等式组的解集在如图所示的数轴上表示出来.

(第6题)

答案：
解不等式①，得$x \leq 1$，
解不等式②，得$x ＞ -3$，
则不等式组的解集为$-3 ＜ x \leq 1$。
将不等式组的解集表示在数轴上如图：

7 已知不等式组$\begin{cases}3x - 2 ＜ a + 1,\\6 - 2x ＜ b + 2\end{cases}$的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$，求$a$，$b$的值.

答案： 由$3x - 2 ＜ a + 1$，得$x ＜ \frac{a + 3}{3}$，
由$6 - 2x ＜ b + 2$，得$x ＞ \frac{4 - b}{2}$。
$\because$该不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$，
$\therefore \frac{a + 3}{3} = 2$，$\frac{4 - b}{2} = -1$，解得$a = 3$，$b = 6$。

8 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + y = 2k,①\\-x + 2y = 3.②\end{cases}$
(1)把方程②两边同乘3，得______③，再把方程①与方程③相加，得______，即$y =$______；
(2)若方程组的解满足$\begin{cases}x ＜ 1,\\y \geq 1,\end{cases}$试确定满足条件的$k$的正整数值.

答案：
(1)$-3x + 6y = 9$ $7y = 2k + 9$ $\frac{2k + 9}{7}$
(2)把$y = \frac{2k + 9}{7}$代入②，得$-x + \frac{4k + 18}{7} = 3$，
解得$x = \frac{4k - 3}{7}$，$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{4k - 3}{7} \\ y = \frac{2k + 9}{7}\end{cases}$。
$\because \begin{cases}x ＜ 1 \\ y \geq 1\end{cases}$，$\therefore \begin{cases}\frac{4k - 3}{7} ＜ 1 \\ \frac{2k + 9}{7} \geq 1\end{cases}$，解得$-1 \leq k ＜ \frac{5}{2}$。
$\because k$为正整数，$\therefore k$的正整数值为1或2。

9 中考新考法 新定义问题 阅读材料：如果$x$是一个有理数，我们把不超过$x$的最大整数记作$[x]$. 例如，$[3.2] = 3$，$[5] = 5$，$[-2.1] = -3$，那么，$x = [x] + a$，其中$0\leq a ＜ 1$. 例如，$3.2 = [3.2] + 0.2$，$5 = [5] + 0$，$-2.1 = [-2.1] + 0.9$.
请你解决下列问题：
(1)$[4.8] =$______，$[-6.5] =$______；
(2)如果$[x] = 5$，那么$x$的取值范围是______；
(3)如果$[5x - 2] = 3x + 1$，那么$x$的值是______；
(4)如果$x = [x] + a$，其中$0\leq a ＜ 1$，且$4a = [x] + 1$，求$x$的值.

答案：
(1)4 -7
(2)$5 \leq x ＜ 6$
(3)$\frac{5}{3}$ [解析]如果$[5x - 2] = 3x + 1$，那么$3x + 1 \leq 5x - 2 ＜ 3x + 2$，解得$\frac{3}{2} \leq x ＜ 2$。
$\because 3x + 1$是整数，$\therefore x = \frac{5}{3}$。
(4)$\because 4a = [x] + 1$，$\therefore a = \frac{[x] + 1}{4}$。
$\because x = [x] + a$，其中$0 \leq a ＜ 1$，$\therefore 0 \leq \frac{[x] + 1}{4} ＜ 1$，
$\therefore -1 \leq [x] ＜ 3$，$\therefore [x] = -1,0,1,2$。
当$[x] = -1$时，$a = 0$，$x = -1$；
当$[x] = 0$时，$a = \frac{1}{4}$，$x = \frac{1}{4}$；
当$[x] = 1$时，$a = \frac{1}{2}$，$x = \frac{3}{2}$；
当$[x] = 2$时，$a = \frac{3}{4}$，$x = \frac{11}{4}$，
$\therefore x = -1$或$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{4}$。