《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9 （2024·湖南长沙雨花区华益中学期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P.
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN = 56°，求∠FPN的度数.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，连接BP，AP，PC.
∵PE垂直平分AB，
PM垂直平分AC，
∴PA=PB，PA=PC，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上.

(2)
∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴FA=FB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°，
∴∠ABC+∠BFE=∠ACB+∠MNC=90°. 设∠ABC=x，∠ACB=y，
∴∠ABC=∠BAF=x，∠ACB=∠CAN=y，
∠BFE=90° - x，∠MNC=90° - y，
∴∠PFN=∠BFE=90° - x，∠PNF=∠MNC=90° - y.
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠FAN=56°
∴2x+2y+56°=180°，
∴x + y=62°.
∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°，
∴90° - x+90° - y+∠FPN=180°，
∴∠FPN=180° - 180°+(x + y)=62°.

10 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE//AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）求证：CD = CF.
　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°.
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90° - ∠EDF=90° - 60°=30°.
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE=CD.
∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，
∴∠CEF=∠F=30°，
∴EC=CF，
∴CD=CF.

11 中考新考法 动点问题 动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题. 如图，在等边三角形ABC中，BC = 6 cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2 cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3 cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s.
（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？
（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t.
　　
　　
　　

答案：

(1)
∵点P运动的速度为2 cm/s，点Q运动的速度为3 cm/s，
∴BP=2t cm，BQ=(6 - 3t)cm.
当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，
∴2t=6 - 3t，
∴解得t=1.2，
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2 s时△PBQ为等边三角形.
(2)①当∠BPQ=90°时，如图
(1)，

②当∠BQP=90°时，如图
(2)，

∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}$BQ，
∴2t=$\frac{1}{2}$(6 - 3t)，
∴t=$\frac{6}{7}$.
②当∠BQP=90°时，∠BPQ=30°，
∴BQ=$\frac{1}{2}$PB，
∴6 - 3t=$\frac{1}{2}$×2t，
∴t=1.5.
综上所述，在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，则t=$\frac{6}{7}$或1.5.

12 如图（1），在△ABC中，点D在边AB上，DE//BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC.
（1）求证：DB = DC；
（2）如图（2），在边BC上取点F，使∠DFC = 60°，若BC = 7，BF = 2，求DF的长.
　　　

答案：

(1)如图
(1).
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3.
∵DE平分∠ADC，
∴∠1=∠2.
∴∠B=∠3.
∴DB=DC.

(2)如图
(2)，过点D作DG⊥BC于点G.
∵DB=DC，DG⊥BC，
∴GB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×7=3.5，
∴GF=GB - BF=3.5 - 2=1.5.
∵在Rt△DGF中，∠DFG=60°
∴∠FDG=30°，
∴DF=2GF=2×1.5=3.

(第12题)