《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

1 教材P142随堂练习T2·变式 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为( )．
A. AB//CD，AD//BC
B. AB=CD，AD=BC
C. AB//CD，AD=BC
D. AB//CD，AB=CD

答案： 答案：C
解析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知选项A能判定四边形ABCD是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知选项B能判定四边形ABCD是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知选项D能判定四边形ABCD是平行四边形；而选项C中，AB//CD，AD = BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形。

2 教材P148习题T1·拓展 (2024·周口二模)如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB//CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )．
A. ∠D=∠5
B. ∠3=∠4
C. ∠1=∠2
D. ∠B=∠D
　

答案： 答案：C
解析：本题可根据平行四边形的判定定理逐一分析选项。
- 选项A：因为$\angle D = \angle 5$，所以$AD// BC$，又因为$AB// CD$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知四边形$ABCD$是平行四边形，该选项不符合题意。
- 选项B：因为$\angle 3 = \angle 4$，所以$AD// BC$，又因为$AB// CD$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知四边形$ABCD$是平行四边形，该选项不符合题意。
- 选项C：$\angle 1 = \angle 2$只能说明$AB = CD$，仅一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形$ABCD$是平行四边形，该选项符合题意。
- 选项D：因为$AB// CD$，所以$\angle B + \angle BCD = 180^{\circ}$，又因为$\angle B = \angle D$，所以$\angle D + \angle BCD = 180^{\circ}$，所以$AD// BC$，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知四边形$ABCD$是平行四边形，该选项不符合题意。

3 教材P158复习题T3·变式 如图，在□ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中有__________个平行四边形.
　

答案： 答案：4
解析：本题可根据平行四边形的判定定理来确定图中平行四边形的个数。
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
- 又因为$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，所以$AE = EB = \frac{1}{2}AB$，$CF = FD = \frac{1}{2}CD$，则$AE = CF$，$EB = FD$。
- 由于$AE// CF$，$AE = CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形$AECF$是平行四边形。
- 同理，因为$EB// FD$，$EB = FD$，所以四边形$EBFD$是平行四边形。
- 因为$AB// CD$，$AB = CD$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
- 又因为$AE = EB$，$CF = FD$，$AB// CD$，所以$EF// AD$，$EF = AD$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形$AEFD$是平行四边形。
综上，图中有$4$个平行四边形。

4 教材P143习题T2·改编 如图，点E，F在□ABCD的边BC，AD上，BE=$\frac{1}{3}$BC，FD=$\frac{1}{3}$AD，连接BF，DE. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
　　　　　　　　　　

答案： 答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC.
∵BE=$\frac{1}{3}BC$，FD=$\frac{1}{3}AD$，
∴BE = DF.
又DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
解析：本题可根据平行四边形的性质得到$AD = BC$，$AD// BC$，再结合已知条件$BE=\frac{1}{3}BC$，$FD=\frac{1}{3}AD$，得出$BE = DF$，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形$BEDF$是平行四边形。

5 教材P144随堂练习·变式 如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，FC，CD，则四边形DBCF是否为平行四边形？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 答案：四边形DBCF是平行四边形. 理由如下：
∵EA = EC，ED = EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD = CF.
∵AD = DB，
∴DB = CF且DB//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形.
解析：本题可先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形$ADCF$是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到$AD// CF$，$AD = CF$，最后结合$AD = DB$，得出$DB = CF$且$DB// CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形$DBCF$是平行四边形。

6 教材P146例3·变式 如图，已知直线a//直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB=6，∠1=60°，则直线a与直线b之间的距离是__________.
　　　　　　 　　　　

答案： 答案：$3\sqrt{3}$
解析：本题可过点$A$作$AC\perp b$于点$C$，则$AC$的长就是直线$a$与直线$b$之间的距离。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle 1 = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，所以$AC = \frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 6$，则$AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$。
根据勾股定理$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，即直线$a$与直线$b$之间的距离是$3\sqrt{3}$。

7 如图，在□ABCD中，AC=21 cm，BE⊥AC于点E，且BE=5 cm，AD=7 cm，则两条平行线AD与BC间的距离为__________.

答案： 答案：15 cm
解析：本题可先根据平行四边形的面积公式求出平行四边形$ABCD$的面积，再根据面积公式求出两条平行线$AD$与$BC$间的距离。
- **步骤一：求平行四边形$ABCD$的面积**
因为$BE\perp AC$，$AC = 21cm$，$BE = 5cm$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AC\times BE=\frac{1}{2}\times 21\times 5 = \frac{105}{2}cm^{2}$。
由于平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形，所以${S}_{//ogram ABCD}=2{S}_{\triangle ABC}=2\times\frac{105}{2} = 105cm^{2}$。
- **步骤二：求两条平行线$AD$与$BC$间的距离**
设两条平行线$AD$与$BC$间的距离为$h$，因为平行四边形的面积公式还可以表示为$S = ah$（其中$a$为底，$h$为高），已知$AD = 7cm$，${S}_{//ogram ABCD}=105cm^{2}$，所以$105 = 7h$，解得$h = 15cm$。
综上，两条平行线$AD$与$BC$间的距离为$15cm$。

8 如图，M是□ABCD的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是( )．
A. S＞S1+S2
B. S=S1+S2
C. S＜S1+S2
D. S与S1+S2的大小关系无法确定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 答案：B
解析：本题可通过作辅助线，利用平行四边形的性质和三角形面积公式来比较$S$，$S_1$，$S_2$的大小关系。
过点$M$作$MN\perp BC$于点$N$，交$AD$于点$P$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$MN$的长就是平行四边形$ABCD$的高。
- **计算$\triangle CMB$的面积$S$**
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得$S = \frac{1}{2}BC\cdot MN$。
- **计算$\triangle CDM$的面积$S_1$与$\triangle ABM$的面积$S_2$之和**
$S_1 = \frac{1}{2}DM\cdot MP$，$S_2 = \frac{1}{2}AM\cdot MP$，则$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}DM\cdot MP + \frac{1}{2}AM\cdot MP = \frac{1}{2}(DM + AM)\cdot MP = \frac{1}{2}AD\cdot MP$。
因为$AD = BC$，$MN = MP$，所以$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}BC\cdot MN$。
由此可得$S = S_1 + S_2$。
综上，答案选B。

9 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点. 点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动. 点P停止运动时，点Q也随之停止运动. 当以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为( )．
A. 1秒
B. 1.5秒
C. 1秒或3.5秒
D. 1.5秒或2秒
　　

答案： 答案：C
解析：本题可根据平行四边形的性质，分情况讨论以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形时的情况，进而求出运动时间$t$。
已知$E$是$BC$的中点，$BC = 16$，则$CE = \frac{1}{2}BC = 8$。
点$P$的速度为每秒$1$个单位长度，点$Q$的速度为每秒$3$个单位长度，运动时间为$t$秒，则$AP = t$，$CQ = 3t$，$PD = AD - AP = 6 - t$。
- **当点$Q$在$E$，$C$之间时**
若以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形，则$PD = EQ$。
因为$EQ = CE - CQ = 8 - 3t$，所以$6 - t = 8 - 3t$，
移项可得$3t - t = 8 - 6$，
即$2t = 2$，
解得$t = 1$。
- **当点$Q$在$B$，$E$之间时**
若以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形，则$PD = EQ$。
因为$EQ = CQ - CE = 3t - 8$，所以$6 - t = 3t - 8$，
移项可得$3t + t = 6 + 8$，
即$4t = 14$，
解得$t = 3.5$。
综上，运动时间$t$为$1$秒或$3.5$秒，答案选C。