《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

5 如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为(　　　)．

A. PN＜3
B. PN＞3
C. PN≥3
D. PN≤3

答案： C

6 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB =10，AD是△ABC的一条角平分线. 若CD =3，则△ABD的面积为________.

答案： 15

7 在直角三角形中，一条边长为a，另一条边长为2a，则它的三个内角的比为(　　　)．
A. 1∶2∶3
B. 2∶2∶1
C. 1∶1∶2
D. 以上都不对

答案： D

8 若直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为(　　　)．
A. 6
B. 7.5
C. 10
D. 12

答案： A

9 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________.

答案： 125°

10 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度是__________.

答案： 15m

11 如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为__________.

答案：
108° [解析]①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC = BC = BD，AD = CD.
设∠B = x°，

∵AC = BC，
∴∠A = ∠B = x°.
∵AD = CD，
∴∠ACD = ∠A = x°.
∴∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2x°.
∵BC = BD，
∴∠BCD = ∠BDC = 2x°.
∴∠ACB = 3x°.
∴x + x + 3x = 180，解得x = 36.
∴顶角是3x° = 108°；
②若过顶点A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形.
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°.
易错警示 由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情形来进行画图并计算.

12 中考新考法 规律探究 (1)如图(1)，在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A = 40°，求∠NMB的大小.
(2)若将(1)中∠A的度数改为70°(如图(2))，其余条件不变，再求∠NMB的大小.
(3)你发现有什么规律？试证明.
(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？

答案：
(1)∠NMB = 20°.
(2)∠NMB = 35°.
(3)∠NMB = $\frac{1}{2}∠A$. 证明如下：
∵AB = AC，
∴∠B = $\frac{1}{2}(180° - ∠A)=90° - \frac{1}{2}∠A$.
∵MN⊥AB，
∴∠NMB = 90° - ∠B = 90° - $(90° - \frac{1}{2}∠A)=\frac{1}{2}∠A$.
(4)不需要修改，上述结论仍成立.

13 中考新考法 组合条件开放 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：①AB = DC；②BE = CE；③∠B = ∠C；④∠BAE = ∠CDE. 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形. 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由. (写出一种即可)
已知：__________.
求证：△AED是等腰三角形.

答案： 已知：①③(或①④或②③或②④).
在△ABE和△DCE中，$\begin{cases}∠AEB = ∠DEC \\∠B = ∠C \\AB = DC\end{cases}$，
∴△ABE≌△DCE(AAS).
∴AE = DE，即△AED是等腰三角形.