《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

2 已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N. 试说明：PM = PN.
　　　　　　　　　　　　

答案：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD,在△ABD和△CBD中，$\begin{cases}BA = BC,\\\angle ABD=\angle CBD,\\BD = BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB = ∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM = PN.

3 教材P31例3·变式如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC = 32，且BD∶DC = 9∶7，则点D到AB边的距离为(　　　).
A. 18　　　　B. 16　　　C. 14　　　D. 12
　　　 　　　　　

答案： C

4 (2024·湖北武汉新洲区期中)如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA∶CA = 3∶4，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ADC的面积是(　　　).


A. 6　　　
　B. 7　　　
　C. 8　　　
　D. 9

答案： C

5 教材P30例2·变式如图，已知点P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： =　=

6 教材P32习题T3·变式如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.
　

答案：
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE = DF,
∴点D在线段EF的垂直平分线上.在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\begin{cases}AD = AD,\\DE = DF,\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE = AF,
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴AD垂直平分EF.

7 教材P32习题T1·变式小丽的家在D处，每天她要送女儿到正东方向、距家2.5 km外的幼儿园B处，然后沿路回到离家正西方向1.5 km的C处上班. 小丽的工作单位的正北方向上有一家超市A，恰好小丽家所在点在公路AB，AC夹角的平分线上，你能求出小丽的工作单位距离超市有多远吗?
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 过点D作DE⊥AB,垂足为E.由题意，得CD = 1.5km,BD = 2.5km.因为AD平分∠CAB,AC⊥BC,所以DE = CD = 1.5km.在Rt△BDE中,BE=$\sqrt{BD^{2}-DE^{2}} = 2$km.因为DE = DC,AD = AD,所以Rt△ADE≌Rt△ADC,所以AE = AC.设AC = xkm,则AB=(x + 2)km.在Rt△ABC中，
∵AC²+BC² = AB²,
∴x²+4²=(x + 2)²,解得x = 3,即AC = 3km.即小丽的工作单位距离超市有3km.