《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

8 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A = 50°，则∠B的度数为( ).

A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°

答案： B

9 (2024·湖北武汉东西湖区期末)如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO，若∠AOB = α，则∠AIB的大小为( ).


A. α
B. $\frac{1}{4}$α + 90°
C. $\frac{1}{2}$α + 90°
D. 180° + $\frac{1}{2}$α

答案：
B [解析]如图，连接CO并延长至点D.
∵点O是AC，BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC.
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA.
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=$\frac{α}{2}$，
∴∠ACB=$\frac{α}{2}$.
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠IBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB)=90° - $\frac{α}{4}$，
∴∠AIB=180° - (∠IAB+∠IBA)=90° + $\frac{α}{4}$.故选B.

10 在△ABC中，若AB = AC，AB的垂直平分线交边BC的延长线于点M，交边AB于点N，且∠CAB = 42°，则∠NMB的度数为________.

答案： 21°

11 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC = 45°，把△ADC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，试问：
(1)AD与CC′有什么样的位置关系?
(2)CC′与BC有什么样的数量关系?

答案：
(1)AD⊥CC'.
(2)BC=$\sqrt{2}$CC'.理由如下：易知AD垂直平分CC'，
∴C'D=CD，
∴∠ADC'=∠ADC=45°，
∴∠CDC'=90°，
∴CC'=$\sqrt{C'D^{2}+CD^{2}}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CC'.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴BC=2CD=$\sqrt{2}$CC'.

12 原创素养题 几何直观 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于点M，N.
(1)若AB = 12 cm，求△MCN的周长；
(2)若∠ACB = 120°，求∠MCN的度数.

答案：
(1)
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于点M，N，
∴AM=CM，BN=CN.
∵AB=12cm，
∴△MCN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=12cm.
(2)
∵∠ACB=120°，
∴∠A+∠B=180° - ∠ACB=60°.
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=60°.
∵∠ACB=120°，
∴∠MCN=∠ACB - (∠ACM+∠BCN)=120° - 60°=60°.

13 中考新考法 证明几何结论 已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD//AB，且CD = AB，连接BD交AC于点O.
(1)如图(1)，求证：AC垂直平分BD；
(2)如图(2)，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND = NM，连接BN. 求证：NB = NM.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵CD//AB，且CD=AB，
∴CD=CA=BC，∠ACD=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∴BO=DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD.
(2)由
(1)知AC垂直平分BD，
∴NB=ND.
∵ND=NM，
∴NB=NM.
归纳总结 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.