《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

9. (2024·天津中考)如图，在△ABC中，∠B = 30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是(　　).
A. ∠ACB = ∠ACD　B. AC//DE
C. AB = EF　　　　　D. BF⊥CE
　　

答案：
答案：D [解析]记BF与CE相交于一点H，如图所示.
∵在△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE = ∠ACD = 60°.

∵∠B = 30°，
∴在△BHC中，∠BHC = 180° - ∠BCE - ∠B = 90°，
∴BF⊥CE，
故D选项正确，符合题意；
设∠ACH = x°，
∴∠ACB = 60° - x°.
∵∠B = 30°，
∴∠EDC = ∠BAC = 180° - 30° - (60° - x°)=90° + x°，
∴∠EDC + ∠ACD = 90° + x° + 60° = 150° + x°.
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC + ∠ACD不一定等于180°，
∴AC//DE不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵∠ACB = 60° - x°，∠ACD = 60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB = ∠ACD不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB = ED = EF + FD，
∴BA与EF不一定相等，
故C选项不正确，不符合题意.
故选D.

10. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB = 15°，则∠AOB'的度数是________.
　　

答案： 答案：30°

11. 如图，C是AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是________，旋转了________，点A的对应点是________.
　　

答案： 答案：点C 60° 点D

12. 如图，在△ABC中，∠B = 10°，∠ACB = 20°，AB = 4 cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
　　　　　　　　　　

答案： 答案：
(1)
∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
∴旋转中心是点A.
根据旋转的性质可知∠CAE = ∠BAD = 180° - ∠B - ∠ACB = 150°，
∴旋转的度数是150°.
(2)由
(1)，知∠BAE = 360° - 150°×2 = 60°，
由旋转可知△ABC≌△ADE.
∴AB = AD，AC = AE.
又点C为AD的中点，
∴AC = AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4 = 2(cm).

13. 中考新考法 思想方法型几何证明题 在△ABC中，BA = BC，∠BAC = α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
(1)若α = 60°且点P与点M重合(如图(1))，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
(2)在图(2)中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；
(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ = QD，请直接写出α的范围.
　　
　　

答案：
答案：
(1)补全图形如图
(1)，∠CDB = 30°.

(2)∠CDB = 90° - α.证明如下：
如图
(2)，作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD.

∵AB = BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD = CD，AP = PC.
在△APD与△CPD中，$\begin{cases}AD = CD \\ PD = PD \\ AP = CP\end{cases}$，
∴△APD≌△CPD(SSS)，
∴∠ADB = ∠CDB，∠PAD = ∠PCD.
又PQ = PA，
∴PQ = PC，
∴∠PQC = ∠PCD = ∠PAD，
∴∠PAD + ∠PQD = ∠PQC + ∠PQD = 180°，
∴∠APQ + ∠ADC = 360° - (∠PAD + ∠PQD)=180°，
∴∠ADC = 180° - ∠APQ = 180° - 2α，
即2∠CDB = 180° - 2α，
∴∠CDB = 90° - α.
1课3练 数学 八年级下 BSD
(3)45° ＜ α ＜ 60°.