《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

1 分式$-\frac{a}{2 - 3a}$可变形为( )．
A. $-\frac{a}{3a - 2}$
B. $\frac{a}{3a - 2}$
C. $\frac{a}{3a + 2}$
D. $-\frac{a}{3a + 2}$

答案： B

2 $\frac{1}{a^{2}-ab}$与$\frac{1}{a^{2}+ab}$的最简公分母是( )．
A. $a(a + b)$
B. $a(a - b)$
C. $a(a + b)(a - b)$
D. $a^{2}(a + b)(a - b)$

答案： C

3 若$\frac{(2a - 3)x}{(3 - 2a)(3 - x)}=\frac{x}{x - 3}$成立，则$a$的取值范围是________．

答案： $a\neq\frac{3}{2}$

4 若$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，则$\frac{a + b}{b}$的值为________．

答案： $\frac{5}{2}$

5 若分式$\frac{x - y}{x + y}=2$中的$x$，$y$的值都变为原来的3倍，则此分式的值为________．

答案： 2

6 若$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，则$\frac{2x - xy + 2y}{3x + 5xy + 3y}=$________．

答案： $\frac{3}{11}$

7 求当$x$为何值时，分式$\frac{3 - x}{x^{2}-2x + 1}$的值为正数.

答案： $\because x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}\geq0$，
当$x^{2}-2x + 1 = 0$，即$x = 1$时，分式无意义，
$\therefore$只有当$3 - x＞0$且$x\neq1$时，才能使分式$\frac{3 - x}{x^{2}-2x + 1}$的值为正数，
$\therefore$当$x＜3$且$x\neq1$时，分式$\frac{3 - x}{x^{2}-2x + 1}$的值为正数.

8 计算：
(1)$(\frac{a + 1}{a - 1}+\frac{1 - a}{a + 1})\cdot\frac{a + 1}{a}$；

答案：
(1) $(\frac{a + 1}{a - 1}+\frac{1 - a}{a + 1})\cdot\frac{a + 1}{a}=\frac{(a + 1)^{2}-(a - 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)}\cdot\frac{a + 1}{a}=\frac{4a}{(a + 1)(a - 1)}\cdot\frac{a + 1}{a}=\frac{4}{a - 1}$.

(2)$\frac{x - 3}{x^{2}-1}\cdot\frac{x^{2}+2x + 1}{x - 3}-(\frac{1}{x - 1}+1)$；

答案：
(2) $\frac{x - 3}{x^{2}-1}\cdot\frac{x^{2}+2x + 1}{x - 3}-(\frac{1}{x - 1}+1)$
$=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)^{2}}{x - 3}-\frac{1 + x - 1}{x - 1}$
$=\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}$.

(3)$(\frac{3x + 4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x - 1})\div\frac{x + 2}{x^{2}-2x + 1}$.

答案：
(3) $(\frac{3x + 4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x - 1})\div\frac{x + 2}{x^{2}-2x + 1}=\frac{x + 2}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x - 1)^{2}}{x + 2}=\frac{x - 1}{x + 1}$.

9 先化简，再求值：$(m + 2-\frac{5}{m - 2})\cdot\frac{m^{2}-3m + 2}{m + 3}$，其中$m = 4$.

答案： 原式$=\frac{(m + 2)(m - 2)-5}{m - 2}\cdot\frac{(m - 1)(m - 2)}{m + 3}=\frac{(m - 3)(m + 3)}{m - 2}\cdot\frac{(m - 1)(m - 2)}{m + 3}=(m - 3)(m - 1)=m^{2}-4m + 3$.
当$m = 4$时，原式$=4^{2}-4\times4 + 3 = 3$.

10 先化简，再求值：$\frac{ab}{a - b}\div(\frac{1}{a + b}+\frac{2b}{a^{2}-b^{2}})$，其中$a=\sqrt{5}+1$，$b=\sqrt{5}-1$.

答案： $\frac{ab}{a - b}\div(\frac{1}{a + b}+\frac{2b}{a^{2}-b^{2}})=\frac{ab}{a - b}\div\frac{a - b + 2b}{(a + b)(a - b)}=\frac{ab}{a - b}\cdot\frac{(a + b)(a - b)}{a + b}=ab$.
当$a=\sqrt{5}+1$，$b=\sqrt{5}-1$时，原式$=(\sqrt{5}+1)\times(\sqrt{5}-1)=5 - 1 = 4$.