《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

13. 在四边形ABCD中，AC = CD，∠ACD = 60°，AB = 1，BC = 3，则BD的最大值为______。

答案：
4 [解析]如图，
∵AC=CD，∠ACD=60°，
∴将△CBD绕C点逆时针旋转60°得到△CEA，
∴CE=CB=3，∠ECB=60°，AE=BD，
∴△CEB为等边三角形，
∴BE=BC=3，
∴AE≤AB + BE(当且仅当点A，B，E共线时取等号)，
∴AE的最大值为1 + 3 = 4，
∴BD的最大值为4.
　　　　　　　　

14. 如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE = 2，则BF的长是______。

答案： 4

15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,1)，将线段AB平移至A'B'，那么a + b的值为______。

答案： 2

16. 如图，在△ABC中，AB = 6，将△ABC平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，M是AB的中点，则MA₁的最小值为多少?

答案：
如图，连接AA₁.
∵将△ABC平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，
∴AA₁ = 4.
∵M是AB的中点，
　　　　　　　　　　　　　
∴AM = $\frac{1}{2}$AB = 3，
∴4 - 3 ≤ MA₁ ≤ 4 + 3，
　即1 ≤ MA₁ ≤ 7.
　故MA₁的最小值为1.

17. 中考新考法 猜想结论 在Rt△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，D为边AB的中点，∠EDF = 90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或延长线)于点E，F。
(1)当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图(1))，求证：S△DEF + S△CEF = 1/2S△ABC。
(2)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想。

答案：

(1)显然△AED，△DEF，△CEF，△BDF都为等腰直角三角形，且互为全等三角形，则S△DEF + S△CEF = $\frac{1}{2}$S△ABC.
(2)题图
(2)成立，题图
(3)不成立.证明如下:
　如图
(1)，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，
　则∠DME = ∠DNF = ∠MDN = 90°.
　又∠C = 90°，
∴DM//BC，DN//AC.
∵D为AB的中点，
∴DN = $\frac{1}{2}$AC，MD = $\frac{1}{2}$BC.
∵AC = BC，
∴MD = ND.
∵∠EDF = 90°，
∴∠MDE + ∠EDN = 90°，
　∠NDF + ∠EDN = 90°，
∴∠MDE = ∠NDF.
　在△DME与△DNF中，{∠DME = ∠DNF，MD = ND，∠MDE = ∠NDF}
∴△DME≌△DNF(ASA)，
∴S△DME = S△DNF.
∴S四边形DMCN = S四边形DECF = S△DEF + S△CEF.
　由
(1)可知S四边形DMCN = $\frac{1}{2}$S△ABC，
∴S△DEF + S△CEF = $\frac{1}{2}$S△ABC.
　　 　 (第17题)
　如图
(2)，连接DC.
∵∠ACB = 90°，D为AB的中点，
∴CD = AD = BD，CD⊥AB.
∴∠DCB = ∠DBC = 45°，∠CDB = 90°.
∴∠ECD = ∠ECF + ∠DCB = 135°，
　∠DBF = 180° - ∠DBC = 135°.
∵∠CDE + ∠EDB = ∠EDB + ∠BDF = 90°，
∴∠CDE = ∠BDF.
　在△DCE和△DBF中，{∠ECD = ∠FBD，DC = DB，∠CDE = ∠BDF}
∴△DCE≌△DBF(ASA)，
∴S△DEF = S五边形DBFEC = S△CFE + S△DBC = S△CFE + $\frac{1}{2}$S△ABC，
∴S△DEF - S△CFE = $\frac{1}{2}$S△ABC.
　故S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的关系是S△DEF - S△CEF = $\frac{1}{2}$S△ABC.