《2025年1课3练江苏人民出版社八年级数学下册北师大版》

1 解不等式：$1 - \frac{2x - 1}{4} \leq \frac{x}{2}$.

答案： $1 - \frac{2x - 1}{4} \leq \frac{x}{2}$，
去分母，得$4 - (2x - 1) \leq 2x$，
去括号，得$4 - 2x + 1 \leq 2x$，
移项，得$-2x - 2x \leq -1 - 4$，
合并同类项，得$-4x \leq -5$，
系数化为1，得$x \geq \frac{5}{4}$。

2 中考新考法 新定义问题 在实数范围内定义一种新运算“$\oplus$”，其运算规则为：$a \oplus b = 2a - \frac{3}{2}(a + b)$，如$1 \oplus 5 = 2\times1 - \frac{3}{2}\times(1 + 5) = -7$.
(1)若$x \oplus 4 = 0$，则$x =$______；
(2)若关于$x$的方程$x \oplus m = -2 \oplus (x + 4)$的解为非负数，求$m$的取值范围.

答案：
(1)12 [解析]$\because a \oplus b = 2a - \frac{3}{2}(a + b)$，
$\therefore x \oplus 4 = 2x - \frac{3}{2}(x + 4) = \frac{1}{2}x - 6$。
$\because x \oplus 4 = 0$，$\therefore \frac{1}{2}x - 6 = 0$，解得$x = 12$。
(2)$\because a \oplus b = 2a - \frac{3}{2}(a + b)$，
$\therefore x \oplus m = 2x - \frac{3}{2}(x + m) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}m$，$-2 \oplus (x + 4) = 2\times(-2) - \frac{3}{2}(-2 + x + 4) = -4 + 3 - \frac{3}{2}x - 6 = -\frac{3}{2}x - 7$，$\therefore \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}m = -\frac{3}{2}x - 7$，
解得$x = \frac{3}{4}m - \frac{7}{2}$。
$\because$关于$x$的方程$x \oplus m = -2 \oplus (x + 4)$的解为非负数，
$\therefore \frac{3}{4}m - \frac{7}{2} \geq 0$，$\therefore m \geq \frac{14}{3}$，$\therefore m$的取值范围为$m \geq \frac{14}{3}$。

3 中考新考法 新定义问题 定义新运算：对于任意实数$a$，$b$，都有$a * b = a(a - b) + 1$. 比如：$2 * 3 = 2\times(2 - 3) + 1 = 2\times(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$.
(1)求$(-2) * 1$的值；
(2)若$3 * x$的值小于7，求$x$的取值范围.

答案：
(1)$(-2) * 1 = (-2)\times(-2 - 1) + 1 = 7$。
(2)$\because 3 * x$的值小于7，
$\therefore 3(3 - x) + 1 ＜ 7$，解得$x ＞ 1$。

4 解不等式组：$\begin{cases}4(x - 1) ＜ 3x - 2,①\\\frac{x + 3}{3} - 1 \leq \frac{x + 2}{2},②\end{cases}$并将其解集在数轴上表示出来.

答案：
解不等式①，得$x ＜ 2$，解不等式②，得$x \geq -6$，
$\therefore$原不等式组的解集是$-6 \leq x ＜ 2$。
其解集在数轴上表示如图：

5 在数轴上，点$A$表示的数为2，点$B$表示的数为5.
(1)如果$C$是数轴上的一点，那么点$C$到点$A$的距离与点$C$到点$B$的距离之和的最小值是______；
(2)求关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m \geq -1,\\x - m ＜ 1\end{cases}$的解集；
(3)如果关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m \geq -1,\\x - m ＜ 1\end{cases}$的解集中每一个$x$值都不在线段$AB$上，求$m$的取值范围.

答案：
(1)3
(2)解不等式$x - m \geq -1$，得$x \geq m - 1$，
解不等式$x - m ＜ 1$，得$x ＜ m + 1$，
则不等式组的解集为$m - 1 \leq x ＜ m + 1$。
(3)$\because$关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m \geq -1 \\ x - m ＜ 1\end{cases}$的解集中每一个$x$值都不在线段$AB$上，
$\therefore m - 1 ＞ 5$或$m + 1 \leq 2$，解得$m ＞ 6$或$m \leq 1$。